独立弱收敛（依分布收敛）序列的极限是否可能相依？求示例

当然可以！这里有两个直观的例子，帮你理解这种情况：

离散型例子（伯努利分布） #

这是最容易理解的版本：

• 首先定义极限变量：设 $X$ 服从伯努利分布 $\text{Bernoulli}(1/2)$，也就是 $P(X=1)=P(X=0)=1/2$；令 $Y=X$，显然 $Y$ 和 $X$ 同分布，但二者完全不独立——比如 $P(X=1,Y=1)=1/2$，而如果独立的话这个概率应该是 $P(X=1)P(Y=1)=1/4$，显然不相等。
• 构造序列：对每个正整数 $n$，取 $X_n$ 是服从 $\text{Bernoulli}(1/2)$ 的随机变量，$Y_n$ 是另一个独立于 $X_n$ 的 $\text{Bernoulli}(1/2)$ 随机变量。

验证条件：

• 依分布收敛：$X_n$ 的分布和 $X$ 完全一致，所以显然 $X_n \Rightarrow X$；同理 $Y_n$ 的分布和 $Y$ 一致，故 $Y_n \Rightarrow Y$。
• 序列中变量独立：我们构造时就保证了每个 $X_n$ 和 $Y_n$ 是相互独立的。
• 极限变量不独立：如前面分析，$X$ 和 $Y$ 是同一个变量，显然不满足独立的定义。

连续型例子（正态分布） #

如果偏好连续分布的例子，也可以这样构造：

• 定义极限变量：设 $X$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$，令 $Y=-X$——由于正态分布对称，$Y$ 也服从 $N(0,1)$，但 $X$ 和 $Y$ 不独立，因为它们的协方差 $\text{Cov}(X,Y)=-\text{Var}(X)=-1 \neq 0$，而独立随机变量的协方差必为0。
• 构造序列：对每个正整数 $n$，取 $X_n$ 是 $N(0,1)$ 随机变量，$Y_n$ 是另一个独立于 $X_n$ 的 $N(0,1)$ 随机变量。

验证条件和离散型例子一致：$X_n$、$Y_n$ 分别依分布收敛到 $X$、$Y$，每个 $X_n$ 和 $Y_n$ 独立，但极限的 $X$ 和 $Y$ 不独立。

核心逻辑其实很简单：依分布收敛只关注边缘分布的收敛，完全不涉及联合分布的收敛。所以即使每个序列对的联合分布是独立的，极限的联合分布完全可以是相依的——只要边缘分布能对上就行。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mike HWANG