利用递推关系求解差分方程的相关疑问咨询

一、关于验证解的方法是否正确的解答 #

你直接把$t$替换成$t+1$代入$u(t)$的表达式来推导递推关系，这个方法完全是正确的！要验证一个函数是否是递推关系的解，最直接标准的思路就是代入递推式的两边，验证等式是否成立，你用的就是这个方法，完全没问题。

二、修正后差分方程的求解步骤 #

首先明确修正后的问题：原方程的笔误被修正后，差分方程变为

$$\Delta u = -\frac{4t + 6}{t^2 + 5t + 6}u$$

我们一步步把它转化为题目给出的标准递推形式$u(t+1)=a\cdot\frac{\prod(t-t_i)}{\prod(t-s_j)}u(t)$：

1. 先展开差分算子：$\Delta u = u(t+1)-u(t)$，代入方程后整理得到：
   $$u(t+1) = \left(1 - \frac{4t + 6}{t^2 + 5t + 6}\right)u(t)$$

2. 对右边的分式进行通分和化简：
   先把分母因式分解：$t^2+5t+6=(t+2)(t+3)$，接着通分计算分子：
   $$(t+2)(t+3)-(4t+6)=t^{2+5t+6-4t-6=t}2+t=t(t+1)$$
   所以右边化简为：
   $$\frac{t(t+1)}{(t+2)(t+3)}$$

3. 这样就得到了标准递推形式：
   $$u(t+1) = \frac{t(t+1)}{(t+2)(t+3)}u(t)$$

4. 对照题目给出的解的模板：
   $$u(t) = ca^t \frac{\Gamma(t-t_1)\Gamma(t-t_2)\cdots\Gamma(t-t_n)}{\Gamma(t-s_1)\Gamma(t-s_2)\cdots\Gamma(t-s_m)}$$
   这里$a=1$（递推式里没有额外的常数系数），分子对应因子$t=(t-0)$、$t+1=(t-(-1))$，即$t_1=0$、$t_2=-1$；分母对应因子$t+2=(t-(-2))$、$t+3=(t-(-3))$，即$s_1=-2$、$s_2=-3$。

5. 代入模板得到通解：
   $$u(t) = c \cdot \frac{\Gamma(t)\Gamma(t+1)}{\Gamma(t+2)\Gamma(t+3)}$$

6. 利用伽马函数的核心性质$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$化简：

   • $\Gamma(t+1)=t\Gamma(t)$
   • $\Gamma(t+2)=(t+1)\Gamma(t+1)=(t+1)t\Gamma(t)$
   • $\Gamma(t+3)=(t+2)\Gamma(t+2)=(t+2)(t+1)t\Gamma(t)$

   将这些代入通解后，分子分母的$\Gamma(t)$可以约掉，最终得到简洁形式：
   $$u(t) = \frac{c}{t(t+1)(t+2)}$$
   （因为$t\in\mathbb{N}$，伽马函数的性质完全适用，这个化简后的形式更便于计算）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Abel