贝塞尔函数双曲参数积分恒等式推导及相关变体极限计算问询

我现在正纠结于如何推导下面这两个积分恒等式（假设 (a>0)，(b>0)）：

$$
\int_0^\infty J_0\left(2a\sinh\left(\frac{x}{2}\right)\right)\sin\left(bx\right)dx = \frac{2}{\pi}\sinh\left(\pi b\right)\left[K_{ib}\left(a\right)\right]^2
$$

和

$$
\int_0^\infty Y_0\left(2a\sinh\left(\frac{x}{2}\right)\right)\cos\left(bx\right)dx = -\frac{2}{\pi}\cosh\left(\pi b\right)\left[K_{ib}\left(a\right)\right]^2
$$

目前我先盯着第一个恒等式，考虑到两个表达式之间的对称性，我尝试用Mehler-Sonine积分展开左边的积分，得到了（针对第一个恒等式）：

$$
\frac{2}{\pi}\int_0^\infty\int_0\infty \sin\left(2a\sinh\left(\frac{x}{2}\right)\cosh\left(t\right)\right)\sin\left(bx\right)dtdx
$$

但这一步之后好像没什么进展——我觉得这个双重积分不满足交换积分顺序的条件，没法继续往下推。

我也试过从结果倒推，能想到的最直接的展开是：

$$
\frac{2}{\pi}\sinh\left(\pi b\right)\left[K_{ib}\left(a\right)\right]^2 = \frac{2}{\pi}\sinh\left(\pi b\right)\left[\frac{1}{\sin\left(\frac{1}{2}i\pi b\right)}\int_0^{\infty\sin\left(a\sinh\left(t\right)\right)\sinh\left(ibt\right)dt\right]}2\
=\frac{2}{\pi}\sinh\left(\pi b\right)\left[\frac{1}{\sinh\left(\frac{1}{2}\pi b\right)}\int_0^{\infty\sin\left(a\sinh\left(t\right)\right)\sin\left(bt\right)dt\right]}2
$$

不过我还是看不出怎么把这两个积分巧妙地结合起来，还原回左边的表达式。有没有可行的方法来推导这两个恒等式呢？

背景补充 #

我其实是想计算一些在积分表中找不到的上述积分的变体，具体来说是计算：

$$
\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_0^TxJ_0\left(2a\sinh\left(\frac{x}{2}\right)\right)\sin\left(bx\right)dx
$$

和

$$
\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_0^TxY_0\left(2a\sinh\left(\frac{x}{2}\right)\right)\cos\left(bx\right)dx
$$

同样假设 (a>0)，(b>0)。我希望推导上述标准积分的技巧也能适用于这些变体，至少能给我一些思路方向。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者davidv1992