重心坐标系下证明\(\dfrac{[DEF]}{[ABC]}=\dfrac{R^2-OP^2}{4R^2}\)的推导疑问

问题背景 #

已知(\triangle ABC)内接于半径为(R)的(\odot O)，点(P)在平面内，(P)到(AB)、(BC)、(CA)的垂足分别为(F)、(D)、(E)，需要证明：
[
\dfrac{[DEF]}{[ABC]}=\dfrac{R^2-OP2}{4R^2}.
]

我的推导尝试 #

我尝试用重心坐标系来推导这个等式，设点(P)的重心坐标为((n,p,m))（默认([ABC]=1)做归一化处理）：

• 由重心坐标系的性质，([PBC]=n)，因此可得(PD=\frac{2n}a)（其中(a=BC)，(b=AC)，(c=AB)），同理可得(PE=\frac{2p}b)。
• 计算(\frac{[PDE]}{[ABC]})：
  [
  \frac{[PDE]}{[ABC]}=\frac{PD\cdot PE\cdot\sin\angle EPD}{CA\cdot CB\cdot\sin\angle ACB}=\frac{4np}{a^2b2}.
  ]
• 用同样方法算出另外两个小三角形与([ABC])的面积比，整合后得到：
  [
  \dfrac{[DEF]}{[ABC]}=\dfrac{4mpa^2+4mnb2+4npc^2}{a2b^2c2}=\frac{mpa^2+mnb2+npc^2}{4R2}.
  ]
  这里用到外接圆半径公式(R=\frac{abc}{4[ABC]})，归一化后([ABC]=1)，所以(R=\frac{abc}4)，刚好把分母转化为(4R^2)。

卡住的地方 #

现在分母已经和目标等式对应上了，但分子部分(mpa^2+mnb2+npc^{2)怎么证明等于(R}2-OP^2)呢？我知道重心坐标系里有两点间距离公式，但计算过程中总是残留三角函数项消不掉，实在卡在这里了，有没有大佬能指点一下？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1034536