光滑流形间函数可微性等价条件的证明疑问

Hi there！你的思路是完全正确的，这个结论确实成立，咱们一步步把证明补全，解决你的卡点～

首先先梳理下已知的定义和前提：

• 设$X,Y$是光滑流形，$f:X\to Y$是底集合上的函数。
• 标准可微性定义：对任意$x\in X$，任意包含$f(x)$的$Y$的图卡$(V,\psi)$，都存在包含$x$的$X$的图卡$(U,\phi)$，满足$f(U)\subset V$，且$\psi\circ f|_U\circ\phi^{-1}$是$\mathcal C^\infty$映射。
• 已知等价条件：$f$可微 $\iff$ $f$连续，且对所有满足$f(U)\subset V$的图卡对$(U,\phi)$（$X$的任意图卡）、$(V,\psi)$（$Y$的任意图卡），$\psi\circ f\circ\phi^{-1}$是$\mathcal C^\infty$的。

现在要证的核心等价关系：

$f$可微 $\iff$ $f$连续，且存在$X$的图册$\mathscr A$、$Y$的图册$\mathscr B$，使得对所有满足$f(U)\subset V$的$(U,\phi)\in\mathscr A$、$(V,\psi)\in\mathscr B$，$\psi\circ f\circ\phi^{-1}$是$\mathcal C^\infty$的

证明方向：从弱条件推标准可微性（解决你的卡点） #

假设$f$连续，且存在满足条件的图册$\mathscr A,\mathscr B$。现在任取一对任意图卡$(U,\phi)$（$X$的）、$(V,\psi)$（$Y$的），满足$f(U)\subset V$，要证$F = \psi\circ f\circ\phi^{-1}: \phi(U)\to\psi(V)$是$\mathcal C^\infty$的。

你的思路（找每个点的开邻域上的$\mathcal C^\infty$限制）完全正确——欧氏空间上的函数是$\mathcal C^\infty$的，当且仅当它在定义域每个点的某个开邻域上都是$\mathcal C^\infty$的。具体补全步骤如下：

1. 任取$b\in\phi(U)$，对应$x=\phi^{-1}(b)\in U$。因为$f(x)\in V$，且$\mathscr B$是$Y$的图册（覆盖整个$Y$），所以存在$(V',\psi')\in\mathscr B$，使得$f(x)\in V'$。
2. 因为$f$连续，$f^{-1}(V'\cap V)$是$X$中包含$x$的开集；同时$U$本身也是开集，所以$U\cap f^{-1}(V'\cap V)$是包含$x$的开集。又因为$\mathscr A$是$X$的图册，存在$(U',\phi')\in\mathscr A$，使得$x\in U'\subset U\cap f^{-1}(V'\cap V)$。
3. 利用光滑流形的图卡转换性质：
   • 图卡之间的转换映射$\phi\circ(\phi')^{-1}: \phi'(U')\to\phi(U'\cap U)$是$\mathcal C^\infty$微分同胚，逆映射也是$\mathcal C^\infty$的。
   • 根据$\mathscr A,\mathscr B$的条件，$\psi'\circ f\circ(\phi')^{-1}: \phi'(U')\to\psi'(V')$是$\mathcal C^\infty$的。
   • 图卡转换映射$\psi\circ(\psi')^{-1}: \psi'(V'\cap V)\to\psi(V'\cap V)$也是$\mathcal C^\infty$微分同胚，逆映射亦然。
4. 取$N = \phi(U'\cap U)$，这是$\phi(U)$中包含$b$的开邻域。此时$F|_N$可以拆解为三个$\mathcal C^\infty$映射的复合：
   $$F|_N = (\psi\circ(\psi')^{-1}) \circ (\psi'\circ f\circ(\phi')^{-1}) \circ ((\phi')\circ\phi^{-1})|_N$$
   复合后的映射自然也是$\mathcal C^\infty$的。
5. 因为$b$是$\phi(U)$中的任意点，所以$F$在$\phi(U)$的每个点的开邻域上都是$\mathcal C^\infty$的，因此$F$本身是$\mathcal C^\infty$的。

反向证明（从标准可微性推弱条件） #

这个方向非常直接：直接取$X$和$Y$定义自身的光滑图册（也就是流形结构自带的图册），根据已知的等价条件，所有满足$f(U)\subset V$的图卡对对应的复合映射都是$\mathcal C^\infty$的，自然满足弱条件。

所以你要证明的结论是完全成立的，你的初始思路没问题，只是需要结合图册的覆盖性和图卡转换的光滑性，把局部的复合映射拼起来就好啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者GeometriaDifferenziale