如何利用SymPy实现两个函数的公共偏应用分解？

问题背景 #

给定两个SymPy表达式$f(a,b,c)$和$g(a,b,d)$，需要找到函数$h(a,b)$、$f'(x,c)$、$g'(x,d)$，满足：
$$f'(h(a,b),c) = f(a,b,c)$$
$$g'(h(a,b),d) = g(a,b,d)$$

举个具体例子：

from sympy import symbols, sin

a,b,c,d = symbols('a b c d')

eq1 = a - b + c
eq2 = sin(2*a - 2*b)*d

# 期望得到：
# h(a,b) = a-b
# f'(x,c) = x + c
# g'(x,d) = sin(2x)*d

SymPy没有直接内置该功能，这个问题本质是提取两个表达式中指定变量组的公共子表达式，再将原表达式重构为以该子式为新变量的函数。

实现思路与代码 #

核心步骤分为两步：

1. 提取两个表达式中仅包含目标变量（这里是{a,b}）的公共子表达式，选取最复杂的那个作为$h(a,b)$（避免匹配单个变量这类无意义的公共子式）
2. 用新变量替换原表达式中的$h(a,b)$，得到$f'$和$g'$

以下是实现代码：

from sympy import symbols, sin, replace
from sympy.core.expr import Expr

a,b,c,d,x = symbols('a b c d x')

def common_partial(expr1: Expr, expr2: Expr, shared_vars: set):
    # 递归提取表达式中仅包含指定变量的所有子式
    def extract_subexprs(expr, target_vars):
        subexprs = set()
        # 处理当前表达式的所有子节点
        for arg in expr.args:
            if all(var in target_vars for var in arg.free_symbols):
                subexprs.add(arg)
                subexprs.update(extract_subexprs(arg, target_vars))
        # 处理表达式本身
        if all(var in target_vars for var in expr.free_symbols):
            subexprs.add(expr)
        return subexprs

    # 获取两个表达式的目标变量子式集合
    subexprs1 = extract_subexprs(expr1, shared_vars)
    subexprs2 = extract_subexprs(expr2, shared_vars)
    common_subexprs = subexprs1 & subexprs2

    if not common_subexprs:
        raise ValueError("未找到指定变量组中的公共子表达式")

    # 选取最复杂的公共子式作为h(a,b)（用表达式结构复杂度衡量）
    h = max(common_subexprs, key=lambda e: len(e.args) + len(str(e)))

    # 替换得到f'和g'
    f_prime = expr1.replace(h, x)
    g_prime = expr2.replace(h, x)

    return h, f_prime, g_prime

# 测试示例
eq1 = a - b + c
eq2 = sin(2*a - 2*b)*d
h, f_p, g_p = common_partial(eq1, eq2, {a, b})

print(f"h(a,b) = {h}")
print(f"f'(x,c) = {f_p}")
print(f"g'(x,d) = {g_p}")

注意事项 #

• 对于含因式的表达式（如示例中的2a-2b），可以先对表达式执行factor()处理，让公共子式更明显（比如2*(a-b)），这样能匹配到更简洁的$h(a,b)$
• 如果存在多个公共子式，当前逻辑会选取结构最复杂的那个，符合多数场景的需求
• 对于嵌套层级较深的表达式，递归提取逻辑可以覆盖大部分常规情况，特殊场景可能需要调整子式匹配规则

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Abogical