带变量约束的Stars and Bars问题：求方程$a_1 + a_2 + a_3 +\dots+a_k=2021$的解数（含k的表达式）

你第一步的变量替换完全正确！接下来我们需要用容斥原理来处理每个$b_i≤8$的上限约束，这是带上下限的Stars and Bars问题的标准解法，我一步步给你理清楚：

首先明确解存在的前提条件 #

• 非负解要求$2021 -k ≥0$，也就是$k≤2021$，否则方程右边是负数，没有非负整数解。
• 每个$b_i≤8$，所以所有$b_i$的总和最大为$8k$，因此必须满足$2021 -k ≤8k$，化简得$9k≥2021$，即$k≥⌈2021/9⌉=225$（因为$9×224=2016<2021$，$9×225=2025≥2021$）。
• 结论：当$k<225$或$k>2021$时，方程没有符合条件的解，解数为0。

当$225≤k≤2021$时，用容斥原理计算解数 #

我们基于无约束的Stars and Bars结果，逐步修正违反上限约束的情况：

1. 无约束的非负解数：
   根据Stars and Bars公式，方程$b_1+b_2+\dots+b_k=m$的非负整数解数为$\binom{m+k-1}{k-1}$。这里$m=2021 -k$，代入后得到：
   $$\binom{(2021 -k)+k-1}{k-1}=\binom{2020}{k-1}$$
2. 容斥修正违反约束的解：
   我们需要减去“至少一个$b_i≥9$”的解，加回“至少两个$b_i≥9$”的解，以此类推（因为减多的部分要补回来）：
   • 对于第$t$次修正（$t≥0$）：
     • 从$k$个变量中选$t$个，令每个选中的变量$b_i$替换为$c_i=b_i-9$（这样$c_i≥0$），此时方程变为：
       $$c_1+c_2+\dots+c_t+\sum_{j \notin \text{选中集合}}b_j=2021 -k -9t$$
     • 对应的解数为$\binom{(2021 -k -9t)+k-1}{k-1}=\binom{2020 -9t}{k-1}$
     • 这部分的符号为$(-1)^t$（偶数次修正加，奇数次修正减），组合数为$\binom{k}{t}$（选$t$个变量的方式数）。
   • $t$的最大取值$t_{max}$：需要满足$2021 -k -9t ≥0$，即$t≤\lfloor \frac{2021 -k}{9} \rfloor$（当$2020 -9t <k-1$时，组合数$\binom{n}{r}=0$，所以超过这个范围的项自动为0）。

最终解数表达式 #

• 当$k<225$或$k>2021$时，解数为$\boldsymbol{0}$；
• 当$225≤k≤2021$时，解数为：
  $$\sum_{t=0}^{t_{max}} (-1)^t \binom{k}{t} \binom{2020 -9t}{k-1}$$
  其中$t_{max}=\lfloor \frac{2021 -k}{9} \rfloor$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ryan.zcd