构造S³\M到N的形变收缩映射或证明其不存在
嘿，这个问题我刚好琢磨过，咱们先把问题拆解清楚：$M$是$S3$里的一个“标准圆”——就是$x,y$平面上的单位圆，$z,w$都为0；$N$是$z,w$平面上的单位圆，$x,y$都为0。我们要找$S3 \setminus M$到$N$的形变收缩，或者证明它不存在。
首先说你之前想到的那个映射：$r_t(x,y,z,w) = (\sqrt{1-t^2}x, \sqrt{1-t^2}y, z, w)$，思路是对的——想把$x,y$分量逐渐缩小到0，但确实像你说的，这个映射的像不在$S3$上，因为原点点满足$x2+y2+z2+w2=1$，但这个映射后的点模长是$(1-t2)(x2+y2)+z2+w2 = 1 - t^2 + t2(z2+w2)$，只有当$z2+w2=1$时模长才是1，其他情况都不是，所以得修正这个问题，核心是**每次收缩后都要把点归一化到$S3$上**。
给你一个可行的构造方法，咱们用$\mathbb{C}2$的视角来看$S3$会更直观——把$S3$看成$\mathbb{C}2$里的单位球面：$|z_1|^2 + |z_2|^2 = 1$，其中$z_1 = x+iy$，$z_2 = z+iw$。这样$M$就是$|z_1|=1, z_2=0$的点，$S^3 \setminus M$就是所有$z_2 \neq 0$的点（因为如果$z_2=0$且在$S^3$上，那必然$|z_1|=1$，属于$M$）。
我们定义同伦$r_t: S^3 \setminus M \to S^3 \setminus M$，$t \in [0,1]$：
$$
r_t(z_1, z_2) = \frac{ \left( (1-t)z_1, z_2 \right) }{ \left| ( (1-t)z_1, z_2 ) \right| }
$$
转换回$\mathbb{R}^4$的坐标就是：
$$
r_t(x,y,z,w) = \frac{ \left( (1-t)x, (1-t)y, z, w \right) }{ \sqrt{ (1-t)2(x2+y^2) + z^2 + w^2 } }
$$
现在验证一下这个映射满足形变收缩的所有条件：
- 初始条件：当$t=0$时，分母就是$\sqrt{x2+y2+z2+w2}=1$，所以$r_0(x,y,z,w)=(x,y,z,w)$，就是恒等映射；
- 终态条件：当$t=1$时，分子变成$(0,0,z,w)$，分母是$\sqrt{z2+w2}$，所以$r_1(x,y,z,w)=\left(0,0,\frac{z}{\sqrt{z2+w2}},\frac{w}{\sqrt{z2+w2}}\right)$，这个点显然属于$N$——因为$x=y=0$，且$\left(\frac{z}{\sqrt{z2+w2}}\right)^2 + \left(\frac{w}{\sqrt{z2+w2}}\right)^2=1$；
- 连续性：因为$p=(x,y,z,w) \notin M$，所以$z2+w2>0$，分母$\sqrt{(1-t)2(x2+y2)+z2+w^2}$永远大于0（不管$t$取什么值），所以整个映射是连续的；
- 保持在补集内：对于任意$t$，$r_t(p)$的$z,w$分量是$\frac{z}{\text{分母}}$和$\frac{w}{\text{分母}}$，因为$z,w$不同时为0，所以这两个分量也不同时为0，因此$r_t(p) \notin M$（$M$上的点$z=w=0$）。
这样就完成了形变收缩的构造，说明$S^3 \setminus M$确实可以形变收缩到$N$。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Abced Decba
