大规模数据集下流变量$x_{1,72}$的缩减成本求解及距离调整后的最优值变化咨询

嗨，我来帮你把这个问题拆解清楚，咱们一步步来：

一、流变量$x_{1,72}$的缩减成本是什么？怎么算？ #

首先你得明白，在最短路径（或对应的最小费用流）问题里，缩减成本本质是这条弧（1→72）的“额外成本”——也就是如果强行把这条弧加入最优路径，每单位流量会让总成本增加的量。它不是弧的原始长度，而是和当前最优路径的成本对比出来的。

具体计算你只需要用到Dijkstra算法输出的两个关键值：

• 你的问题中源点到节点1的最短距离，记为$dist(s,1)$
• 源点到节点72的最短距离，记为$dist(s,72)$

然后套这个公式就行：
$$\bar{c}_{1,72} = 21 - (dist(s,72) - dist(s,1))$$

这个值的意义： #

• 如果结果等于0：说明这条弧本身就在最优路径集合里，用不用它（比如有其他等价的最短路径）都不影响总成本。
• 如果结果大于0：说明这条弧的直接成本比走最优路径从1到72的成本高，所以它不在当前最优解里，硬要走的话每单位流量会多花这么多钱。
• 如果结果小于0：那说明你当前的解不是最优的（不过Dijkstra算出来的肯定是最优解，所以这种情况不会出现）。

举个简单例子：假设源点到1的最短距离是5，源点到72的最短距离是20，那走最优路径从1到72的成本是15（20-5）。那这条弧的缩减成本就是21-15=6，意思是如果硬要走1→72的直接弧，每单位流量会比最优路径多花6。

二、把1和72的长度改成10，最优值会怎么变？ #

这得看调整后的弧是否能挤进最优路径里，分两种情况：

1. 调整后的缩减成本≤0：
   也就是$10 - (dist(s,72) - dist(s,1)) ≤0$，说明现在走1→72的直接弧比原来的最优路径更便宜。这时候最优值（比如源点到72的最短距离）会更新为$dist(s,1)+10$，和原来的最优值相比，变化量就是$(dist(s,1)+10) - dist(s,72)$——简单说就是总成本会减少「原来最优路径1→72的成本减去10」的量。

2. 调整后的缩减成本>0：
   也就是即使改成10，直接弧还是比原来的最优路径贵，那最优值不会有任何变化——原来的最短路径仍然是最划算的，这条调整后的弧还是不会被用到。

还是拿刚才的例子：原来最优路径1→72的成本是15，改成10后，10-15=-5≤0，那源点到72的最短距离就从20变成5+10=15，总成本减少了5。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Housefire