关于二进制数与π的关联猜想的求证及表述优化请求

我在研究二进制数的过程中，在Desmos里编写了一个函数 f(x)，它可以生成输入值x的二进制表示的逆序数字列表。举个具体例子：f(10)会输出 [0,1,0,1]（因为10的二进制是1010，逆序后就是0101）。

接下来我又定义了函数 g(z)，它会生成一组点 (z, i)，其中i是f(z)中所有值为1的元素的索引。还是以10为例：f(10)里第2位和第4位的数字是1，所以g(10)会输出 (10,2) 和 (10,4)（第1位和第3位是0，对应的点被剔除了）。

之后我构建了列表 h，它由所有自然数x对应的g(x)中的点组成。一开始我手动测试了几个小规模的自然数集合，后来写了一段Python程序，能批量处理超过一千个x值，省去了手动输入的麻烦。

完成数据准备后，我对h中的点做了回归分析，拟合模型为 h.y = log_n(h.x)（其中h.x代表h里所有点的x值，h.y代表对应的y值）。我测试了多个区间，比如[1,...,1000]、[1000,...,1600]，发现当x覆盖的自然数范围趋近于全体自然数时，回归得到的n值似乎会趋近于π。比如区间[600,...,1500]给出的n=3.1562889032，其他区间的结果也都和π非常接近。

基于这些观察，我提出以下猜想：

选取正整数N，构造集合S，其中包含所有满足以下条件的元组(log m, i)：1≤m≤N，且m的二进制表示中2^(i−1)位上的数字是1。找到过原点的最佳拟合直线，当N→∞时，该直线的斜率趋近于logπ。

我非常希望能得到大家的帮助：

• 证明、推翻或者解释这个猜想
• 优化我的表述，让整个探索过程和猜想更清晰易懂（我自己在描述时感觉有些地方比较绕，可能会让读者困惑）

提前感谢大家的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dylan Levine