不使用反例证明P(A^c) ⊈ P(U) − P(A)的推导疑问及相关逻辑困惑

嘿，我来帮你拆解这里的逻辑卡点～ 先把两个集合的定义掰扯清楚，再一步步梳理你的疑问：

首先明确几个核心定义：

• $P(A^{c)$：所有**A的补集的子集**，也就是任意$x∈P(A}c)$都满足：$x$里的每一个元素都不属于A（即$\forall y \in x, y \notin A$）。
• $P(U) - P(A)$：所有属于全集U的子集，但不属于A的子集，翻译成人话就是：$x⊆U$，并且$x$不是A的子集（即$x \nsubseteq A$）。

你的第一个疑问：为什么$x⊆U - A$不意味着$x∈P(U) - P(A)$？ #

咱们从逻辑命题的角度推导：
$x∈P(U)-P(A)$等价于**$x⊆U$ 且 $x \nsubseteq A$。
而$x⊆U-A$等价于$x$里的元素都不在A中**。

现在问题来了：“x里的元素都不在A中”能推出“x不是A的子集”吗？
答案是不能。因为有一种特殊情况——空集∅：
∅里没有任何元素，所以“∅里的元素都不在A中”这个命题是真的（空真命题），所以∅⊆U-A，即∅∈P(A^c)。但同时，∅是任何集合的子集，所以∅⊆A，也就是∅∈P(A)，那∅自然就不属于$P(U)-P(A)$（因为这个集合是把P(A)里的元素都去掉了）。

这就说明，存在元素（∅）满足$x∈P(A^{c)$但$x∉P(U)-P(A)$，所以$P(A}c)$不可能包含于$P(U)-P(A)$。

你的第二个疑问：怎么知道$x \notin P(U) - P(A)$？ #

其实不是所有$x∈P(A^{c)$都不在$P(U)-P(A)$里，比如如果x是A}c的一个非空子集，那x里的元素都不在A中，所以x肯定不是A的子集（因为A的子集里的元素都在A里，而x有元素不在A），这时候x就属于$P(U)-P(A)$。但关键是存在空集这个例外，它打破了“所有P(A^c)的元素都在P(U)-P(A)里”的假设。

如果要求不使用反例，我们可以从逻辑蕴含的角度分析：
要证明$P(A^c) \nsubseteq P(U)-P(A)$，等价于证明“存在x，使得$x∈P(A^c)$且$x∉P(U)-P(A)$”。
而$x∉P(U)-P(A)$等价于“$x∉P(U)$ 或 $x∈P(A)$”。
因为$x∈P(A^c)$意味着$x⊆U-A⊆U$，所以$x∈P(U)$，那$x∉P(U)-P(A)$就等价于$x∈P(A)$。
所以我们只需要找一个x，满足$x∈P(A^{c)$且$x∈P(A)$——也就是x既是A的子集，又是A}c的子集。什么样的集合同时是A和A^{c的子集？只有空集，因为A和A}c没有公共元素，它们的交集是空集，所以只有空集能同时包含于两者。

这样从逻辑上就推导出来了，不需要举具体的反例，而是通过集合运算的逻辑属性得出存在这样的x。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ppkjref