关于随机微分的期望及相关等式合理性的技术问询

嘿，咱们来拆解你提出的这个随机微分和期望相关的问题，先从你给出的伊藤公式说起：

$$
df(X_{t})=\left(\mu_{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma_{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma_{t}{\frac {\partial f}{\partial x}} dB_{t}
$$

1. 先看 $\mathbb{E}(df)$ 的合理性 #

当然是有意义的！我们可以直接对伊藤公式两边取期望：

• 右边的扩散项 $\sigma_{t}{\frac {\partial f}{\partial x}} dB_{t}$ 是鞅增量的倍数，布朗运动的增量 $dB_t$ 期望为0，只要 $\sigma_{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}$ 满足平方可积这类可积性条件，这部分的期望就会消失。
• 剩下的漂移项是和 $dt$ 关联的可测部分，取期望后就得到：
  $$
  \mathbb{E}(df(X_t)) = \mathbb{E}\left[\left(\mu_{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma_{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt\right]
  $$
  只要括号里的表达式在概率测度和勒贝格测度下可积，这个期望就完全有定义。

2. 再聊 $\mathbb{E}\left(\frac{df}{dt}\right)\overset{?}{=}\frac{d}{dt}\mathbb{E}(f)$ 的合理性 #

这里得先澄清一个关键细节：$\frac{df}{dt}$ 不是普通函数的导数，因为 $df(X_t)$ 是随机微分，里面包含布朗运动增量项 $dB_t$，而 $dB_t/dt$ 本质是白噪声（广义随机过程），没法按普通微积分的导数来理解。不过换个角度从期望的时间导数切入，这个等式在满足一定条件下是成立的：

• 先对 $f(X_t)$ 取期望，结合伊藤公式的积分形式可得：
  $$
  \mathbb{E}[f(X_t)] = \mathbb{E}[f(X_0)] + \int_0^t \mathbb{E}\left[\mu_s \frac{\partial f}{\partial x}(X_s) + \frac{\sigma_s^2}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(X_s)\right] ds
  $$
• 现在对 $t$ 求导，只要被积函数满足控制收敛定理的条件（比如 $\mu_s, \sigma_s$ 是适应过程，$f$ 的一、二阶导数有界，或者被某个可积函数控制），我们就能交换导数和积分的顺序，得到：
  $$
  \frac{d}{dt}\mathbb{E}[f(X_t)] = \mathbb{E}\left[\mu_t \frac{\partial f}{\partial x}(X_t) + \frac{\sigma_t^2}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(X_t)\right]
  $$
• 而如果我们把 $\mathbb{E}\left(\frac{df}{dt}\right)$ 理解为对伊藤公式中「去掉扩散项后的部分」取期望（毕竟扩散项的期望为0），那它正好等于上面的结果，此时这个等式就成立。

总结一下：只要满足必要的可积性和正则性条件，这两个表达式都是有意义的，并且那个等式也成立——核心是要注意随机微分里的「导数」和普通微积分里的导数不是一回事，得从伊藤公式的积分形式和期望的交换规则来理解。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ric.san