证明给定组合形式的Pₓ(x)为概率质量函数
嘿，我来帮你梳理这个证明的思路，其实核心就是用到组合数学里一个非常经典的计数恒等式，咱们一步步拆解：
首先，要确认$P_x(x)$是概率质量函数，必须满足两个关键条件：
- 对所有x，$P_x(x) \geq 0$（这个很直观，组合数都是非负整数，分式自然非负）
- 所有可能取值的概率和为1，也就是$\sum_{x=0}^k P_x(x) = 1$
根据题目提示，咱们只需要先证明下面这个组合恒等式就行：
$$\binom{N}{n} = \sum_{x=0}^k\binom{k}{x}\binom{N-k}{n-x}$$
用计数论证证明这个恒等式
咱们把式子转化成实际的计数问题，理解起来会更轻松：
假设我们有N个元素，把它们分成两组：
- A组：刚好k个元素
- B组：剩下的$N-k$个元素
现在要计算从这N个元素里选出n个元素的总方法数，显然就是$\binom{N}{n}$（这是等式左边）。
换一种计数方式：按「从A组中选x个元素」的情况分类统计：
- 当从A组选x个元素时，选法有$\binom{k}{x}$种；
- 剩下的$n-x$个元素必须从B组里选，选法有$\binom{N-k}{n-x}$种；
- x的取值范围是0到k（因为A组最多只有k个元素）。
题目给出的条件$k < n$且$N > n + k$，刚好保证了$n-x$的取值是合理的：
- 当x=0时，$n-x = n$，而B组有$N-k > n+k -k = n$，$\binom{N-k}{n}$是有效的组合数；
- 当x=k时，$n-x = n -k > 0$（因为k < n），$\binom{N-k}{n-k}$同样有效。
把所有分类的选法加起来，就是从N个元素里选n个的总方法数，因此：
$$\binom{N}{n} = \sum_{x=0}^k\binom{k}{x}\binom{N-k}{n-x}$$
回到原问题验证全概率和为1
现在把$P_x(x)$代入求和式：
$$\sum_{x=0}^k P_x(x) = \sum_{x=0}^k \frac{\binom{k}{x}\binom{N-k}{n-x}}{\binom{N}{n}}$$
把分母$\binom{N}{n}$提出来，得到：
$$\frac{1}{\binom{N}{n}} \times \sum_{x=0}^k\binom{k}{x}\binom{N-k}{n-x}$$
根据刚才证明的恒等式，分子的求和结果就是$\binom{N}{n}$，所以：
$$\frac{\binom{N}{n}}{\binom{N}{n}} = 1$$
这样就满足了全概率和为1的条件，再加上非负性，$P_x(x)$完全符合概率质量函数的定义。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者mildChoko
