如何优化含矩阵求逆的Python代码？利用对称正定矩阵特性提速

你当前的优化方案X = np.linalg.solve(S.T, (A@B).T).T已经比伪逆高效很多，但既然S是对称正定矩阵，我们可以借助Cholesky分解进一步压缩计算量——对称正定矩阵的Cholesky分解能利用对称性把计算量砍掉近一半，再结合三角矩阵的快速求解，整体速度会比通用的solve更快。

具体实现代码 #

# 先计算A@B，避免重复运算
C = A @ B
# 对对称正定矩阵S做Cholesky分解，得到下三角矩阵L
L = np.linalg.cholesky(S)
# 前向替换求解 L @ Y = C.T（lower=True指定L是下三角）
Y = np.linalg.solve_triangular(L, C.T, lower=True)
# 后向替换求解 L.T @ X_T = Y（lower=False表示矩阵是上三角）
X_T = np.linalg.solve_triangular(L.T, Y, lower=False)
# 转置得到最终结果X
X = X_T.T

为什么这能提速？ #

1. Cholesky分解的效率优势：针对对称正定矩阵的Cholesky分解复杂度是O(m³/3)，而通用矩阵分解（比如LU）的复杂度是O(m³/2)，分解步骤直接减少了约33%的运算量。
2. 三角矩阵求解的高效性：np.linalg.solve_triangular专门处理三角矩阵，不需要像通用solve那样处理非三角区域的元素，求解过程的运算量也更低。
3. 完全利用对称性：整个流程基于S的对称正定特性，没有做任何冗余计算。

正确性验证 #

因为S是对称正定矩阵，满足S = L @ L.T，因此S⁻¹ = (L.T)⁻¹ @ L⁻¹。代入原表达式X = (A@B) @ S⁻¹，可以推导得出：
X = C @ (L.T)⁻¹ @ L⁻¹，转置后X.T = (L⁻¹)ᵀ @ L⁻ᵀ @ C.T，而(L⁻¹)ᵀ = (L.T)⁻¹，所以两次三角求解的结果和原运算完全等价，结果一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Taylor Fang