关于有限集合分划下特定子集族的标准术语问询

嗨，我来帮你梳理这个问题并给出相关术语参考~

先明确一下问题里的背景定义：
假设有限集合 $G$ 被分划为 $G_1, \ldots, G_k$，我们定义集合族 $\mathfrak{S}$ 为所有恰好从每个分划块 $G_i$ 中选取一个元素的 $G$ 的子集，用数学符号表示就是：
$$
\mathfrak{S} := {S \subseteq G \mid |S\cap G_i| = 1,\forall i}
$$

显然这个集合族也可以等价描述为：
$$
\mathfrak{S} = {{s_1,\ldots,s_k} \mid (s_1,\ldots,s_k) \in G_1 \times \ldots \times G_k}
$$

这说明 $\mathfrak{S}$ 和笛卡尔积 $G_1 \times \ldots \times G_k$ 是同构的，因此它的基数满足 $|\mathfrak{S}| = \prod_i N_i$（其中 $|G_i| = N_i$ 是每个分划块的元素个数）。

回到你的核心问题：$\mathfrak{S}$ 是否有标准术语？

在组合数学和集合论领域，有几个被广泛认可的称呼：

• 横截集族（Family of Transversals）：这是最标准的术语。对于一个两两不交的集合族（这里的分划就是典型的两两不交集合族），横截集指的是恰好从每个子集中选取一个元素的集合，而你定义的 $\mathfrak{S}$ 就是这个分划的所有横截集构成的集合，所以直接叫“横截集族”非常准确。
• 所有代表系的集合（Set of All Systems of Representatives）：$\mathfrak{S}$ 中的每个元素都是分划的一个代表系（即从每个分划块选一个元素代表该块），所以整个集合族可以被称为所有代表系的集合，有时候也会简化说“代表系族”。
• 选择集族（Family of Choice Sets）：这个称呼更偏向直观——从每个分划块里选一个元素的集合就是“选择集”，对应的集合族就是选择集族，但这个术语的通用性不如前两个。

如果分划的每个块大小都相等，这个结构还会和拉丁方、组合设计里的概念关联，但核心的标准术语还是上面提到的前两个，其中“横截集族”是最被广泛使用的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者dohmatob