关于模n剩余类群中素数p对应的m(n,p)无界性的证明方法咨询

嘿，我最近在琢磨一个数论问题，想请教各位有没有更直接的思路来解决它。先把问题的定义和核心疑问理清楚：

问题定义 #

设$n\geq 1$是整数，$p$是不整除$n$的素数。记$d$是$p\bmod n$在乘法群$(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$中的阶，显然$d$整除欧拉函数$\phi(n)$。我们定义整数：
$$m:=m(n,p):=\frac{\phi(n)}{d}$$

核心疑问 #

我想确认：$m(n,p)$的值是没有上界的——换句话说，对任意给定的$M>0$，总能找到对应的整数$n$和素数$p$（满足$p\nmid n$），使得$m(n,p)>M$。我想知道有没有直观易懂的方法来证明这一点。

我的实验尝试 #

我用Python做了一些数值实验，发现了一个可能的方向：如果取$n=3^{e$（$e$是正整数），然后取$p$是小于等于$2\cdot3}{e-1}+1$的最大素数，看起来当$e$趋向无穷时，$m(n,p)$也会趋向无穷。不过这个思路有个明显的问题：$p$的选取没有明确的构造公式，只是取了某个范围内的最大素数，不确定这是不是个能严谨证明的切入点。

另一个可能的思路 #

我还想到，或许可以构造一个无限族的$n$，对每个$n$都能找到对应的素数$p_n$（满足$p_n\nmid n$），使得$p_n\bmod n$的阶$d$是有界的——这样一来，随着$n$增大，$\phi(n)$会不断增长，而$m=\phi(n)/d$自然就会趋向无穷，也就证明了$m$的无界性。不过我还没找到具体的构造方式，想听听大家的想法。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Trayi