保对称正定双线性形式的SLₙ(ℝ)子群与SO(n)同构的证明构造思路咨询

设 $V = \mathbb R^n$，$Q : V\times V\to \mathbb R$ 是一个对称正定双线性形式。我将 $SO(n)$ 定义为：
$$ SO(n) := \left{ A \in SL_n(\mathbb R) _| A^T A = I_n \right}. $$

Fulton和Harris在他们的《表示论》一书第96页中提到，$SL_n(\mathbb R)$ 中保持 $Q$ 的子群就是 $SO(n)$。我对此并不清楚，希望能完成这个证明。

选定 $V$ 的一组基后，$Q$ 可以由一个对称正定矩阵 $M$ 表示，我们需要证明：
$$ SO(n) \cong \left{ A \in SL_n(\mathbb R) _| A^T M A = M \right}. $$

我们可以假设 $M$ 是对角矩阵，因为每个实对称矩阵都可以对角化。

以下是我目前的进展：

设 $A = (a_{ij})$，$M = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$，其中所有 $\lambda_i > 0$（$1 \leq i \leq n$）。那么 $A^TMA = M$ 可以推导出如下方程组：
$$\sum_{i} \left(A^T\right){si} \left(MA\right){it} = \left(M\right){st}$$
$$ \iff \sum_i a{is} \lambda_i a_{it} = \lambda_s \delta_{st}, $$
其中 $1 \leq s,t \leq n$。也就是说，$A$ 的元素 $a_{ij}$ 需要满足上述方程。

我想构造一个映射 $\varphi$，将满足条件的任意 $A$ 映射到 $\varphi(A) \in SO(n)$，即 $\varphi(A)$ 的元素 $\tilde a_{ij}$ 满足：
$$ \sum_i \tilde a_{is} \tilde a_{it} = \delta_{st}, $$
其中 $1\leq s,t \leq n$，然后进一步证明 $\varphi$ 是一个同构。但我不知道该如何构造这样的 $\varphi$，希望能得到一些建议？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ABanerjee