交换环上模的相伴素理想子集对应子模存在性的证明问询

大家好，我最近在学习交换环与模的相伴素理想相关内容，遇到了一个证明题，想请教一下我的思路是否可行，以及后续该怎么推进下去。

问题背景与待证结论 #

设R是交换环，M是R-模。我需要证明的结论是：

如果S ⊆ Ass_R(M)（Ass_R(M)表示M的相伴素理想集合），那么存在M的子模N，使得Ass_R(N) = S。

我的思路尝试 #

我打算用Zorn引理来构造这个子模N，目前的步骤如下：

1. 构造子模集合：
   $$\mathcal{F} = { N' \subseteq M \mid N' \text{是子模，且}\ \text{Ass}_R(N') \subseteq S }$$
2. 给$\mathcal{F}$赋予子模包含关系作为偏序，这样$\mathcal{F}$就成为一个偏序集。
3. 验证Zorn引理的适用条件：
   • 首先$\mathcal{F}$非空：零模的相伴素理想是空集，显然包含于S，所以零模属于$\mathcal{F}$。
   • 对于$\mathcal{F}$中的任意链$\{N_i\}_{i \in I}$，它们的并集$\bigcup_{i \in I} N_i$是M的子模，而且有$\text{Ass}_R\left(\bigcup_{i \in I} N_i\right) = \bigcup_{i \in I} \text{Ass}_R(N_i) \subseteq S$，所以这个并集也属于$\mathcal{F}$，即链有上界。
   • 按Zorn引理，$\mathcal{F}$中存在极大元N。

卡住的地方 #

我现在不确定怎么从这个极大元N推出$\text{Ass}_R(N) = S$。目前只知道$\text{Ass}_R(N) \subseteq S$，但怎么证明S中的每个素理想都在$\text{Ass}_R(N)$里呢？

比如任取$\mathfrak{p} \in S$，因为$\mathfrak{p} \in \text{Ass}_R(M)$，所以存在$x \in M$使得$\text{Ann}_R(x) = \mathfrak{p}$。我考虑子模$N + Rx$，如果能证明$\text{Ass}_R(N + Rx) \subseteq S$，那根据N的极大性，$N + Rx = N$，也就是$x \in N$，这样$\mathfrak{p} \in \text{Ass}_R(N)$。但我不确定$\text{Ass}_R(N + Rx)$是否真的包含于S，这一步是不是成立？或者有没有其他的思路可以补全这个证明？

麻烦各位前辈帮忙看看，谢谢啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ben huni