关于素因子指数有序的非平凡整数的密度相关技术问询

先给大家明确一下讨论的核心概念哈：
对于正整数$n$，它的素因子分解形式是 $n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_{\omega(n)}^{a_{\omega(n)}}$，这里$p_1$到$p_{\omega(n)}$是不同的素数，$a_1$到$a_{\omega(n)}$是每个素数对应的指数。如果这些指数满足$a_1 \ge a_2 \ge \dots \ge a_{\omega(n)}$，我们就叫$n$是指数降序整数。

这里有两种不用深究的“平凡情况”：

• 无平方因子数：所有指数都是1，肯定满足降序条件
• 全指数相等的数：比如$2^6 3^6$这种，所有指数一样大，自然也符合降序要求

我们真正关心的是非平凡情况：也就是那些至少有两个不同指数的降序整数，比如$2^3 5^2 7^1 11^1$就是典型例子。

目前通过对$n \le 10^9$的数值实验发现，当$n$趋向于无穷大时，这类非平凡指数降序整数的密度趋近于0.31403。

现在有两个关键问题需要探讨：

问题1 #

非平凡指数降序整数的极限密度具体是多少？这个极限值能不能用闭合形式的表达式写出来？

问题2 #

反过来，如果定义指数升序整数（也就是$a_1 \le a_2 \le \dots \le a_{\omega(n)}$），对应的非平凡情况的密度是不是0？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nilotpal Kanti Sinha