单位正方形相关同胚构造的拓扑问题咨询

大家好，我在拓扑课上遇到了两个有趣的挑战性问题（老师明确说这不是作业，鼓励我们和同学讨论解决），想请教下各位怎么构造符合要求的同胚映射。先把问题和我目前的思路整理出来：

给定 $I=[0,1]$

问题1 #

寻找一个同胚 $f:I^2\rightarrow I^2$，满足以下三个条件：

• $f(0\times I)=0\times I$
• $f(I\times 0)=(I\times 0) \cup (1\times I)$
• $f((1\times I)\cup (I\times 1))=I\times 1$

我的初步思路（问题1） #

我记得紧致空间上的连续双射就是同胚，所以应该只要找到满足上述边界映射性质的紧致双射就行。我试着拆分边界部分定义映射：

• 定义 $f_1:0\times I\rightarrow I\times 0$，令 $f_1(0,t)=(t,0)$
• 现在卡在了怎么定义 $f_2:I\times 0\rightarrow (I\times 0)\cup (1\times I)$，不知道怎么让这个映射覆盖目标集合同时保持连续可逆
• 定义 $f_3:(1\times I)\cup (I\times 1)\rightarrow I\times 1$，令 $f_3(1,t)=(t,1)$ 且 $f_3(t,1)=(t,1)$

我想把这些部分映射粘起来得到整个正方形上的同胚，但不知道怎么写出具体的公式，或者有没有更直观的构造方式？

问题2 #

寻找一个同胚 $g:I^2-{\text{右上开象限}}\rightarrow I^2$，满足以下条件：

• 对所有 $x$，$g(x,-1)=(x,-1)$（下边界保持不动）
• 对所有 $x$，$g(1,x)=(1,x)$（右边界保持不动）
• 对所有 $x$，$g(-1,x)=(-1,x)$（左边界保持不动）
• $g([-1,0]\times 1)=I \times 1$（左半部分的上边界要映射到整个上边界）

我的初步思路（问题2） #

对于 $g([-1,0]\times 1)=I\times 1$ 这个条件，我想是不是可以用一个从 $[-1,0]$ 到 $I$ 的线性缩放映射来实现，但不太清楚怎么把这个扩展到整个定义域上，同时保持其他边界的不动性和整体的同胚性质。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1040289