矩形板稳态温度分布求解的正确性咨询

我们需要求解以下拉普拉斯方程的边值问题：

$$
\nabla^2 u=0, \quad 0\leq x\leq a,\ 0\leq y\leq b
$$

满足边界条件：
$$
u(0,y)=0, \quad 0\leq y\leq b \
u(x,0)=u(x,b)=0, \quad 0\leq x\leq a \
u_x(a,y)=T\sin^3\left(\frac{\pi y}{a}\right)
$$

我已经进行了以下推导步骤：

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我确定自己推导到$Y_n(y)$的部分都是正确的，但之后的步骤都是猜测，大概率是错误的。我甚至怀疑这道曾经出现在考试中的题目本身是否正确。

希望能得到关于题目正确性或者我的解法正确性的帮助。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ankit Kumar