希尔伯特空间中无界闭凸子集间距离的可达性证明问题

Hey，针对希尔伯特空间里闭凸子集距离可达性的这个问题，我来一步步梳理清楚——先把你已经搞定的有界情况的证明理得更连贯，再解决无界且满足极限条件的情况~

问题背景 #

设$A$和$B$是希尔伯特空间$H$中的非空闭凸子集，定义子集间的距离为：
$$d(A,B) := \inf{d(x,y)\mid x\in A,, y\in B}$$
我们需要证明：存在$a\in A$和$b\in B$，使得$d(A,B) = d(a,b)$，也就是这个下确界是可达的。

Case I：当$A$或$B$有界时的证明 #

你已经给出了这个情况的证明，我把它整理得更清晰些：

不妨假设$A$是有界的（如果是$B$有界，思路完全一致）。

1. 构造逼近序列：
   对于任意正整数$n\geq1$，根据下确界的定义，总能找到$x_n\in A$，使得：
   $$d(x_n, B) < d(A, B) + \frac{1}{n}$$
   这里$d(x_n,B)$是点$x_n$到集合$B$的距离，即$\inf_{y\in B}|x_n-y|$。

2. 利用弱紧性提取弱收敛子列：
   因为$A$有界，所以序列${x_n}$是有界的。在希尔伯特空间中，有界序列必有弱收敛的子列（根据Banach-Alaoglu定理，希尔伯特空间的单位球是弱紧的），不妨设$x_n\rightharpoonup a\in A$（弱收敛的定义是：对任意$y\in H$，都有$\lim_{n\to\infty}\langle x_n,y\rangle=\langle a,y\rangle$）。注意$A$是闭凸集，希尔伯特空间中闭凸集是弱闭的，所以$a$确实属于$A$。

3. 利用投影性质推导不等式：
   记$b=P_B(a)$，也就是$a$在$B$上的正交投影（$B$是闭凸集，希尔伯特空间中每个点到闭凸集的投影存在且唯一）。我们对$|x_n - P_B(x_n)|^2$做展开：
   $$\begin{align}
   |x_n - P_B(x_n)|^2
   &= |(x_n-a) + (a-P_B(a)) + (P_B(a)-P_B(x_n))|^2 \
   &= |a-P_B(a)|^2 + |x_n-a+P_B(a)-P_B(x_n)|^2 \
   &\quad + 2\mathrm{Re}\langle a-P_B(a), x_n-a\rangle + 2\mathrm{Re}\langle a-P_B(a), P_B(a)-P_B(x_n)\rangle
   \end{align}$$
   根据正交投影的核心性质：$\langle a-P_B(a), z-P_B(a)\rangle\leq0$对所有$z\in B$成立，这里$z=P_B(x_n)\in B$，所以最后一项$2\mathrm{Re}\langle a-P_B(a), P_B(a)-P_B(x_n)\rangle\geq0$。由此可以得到不等式：
   $$|x_n - P_B(x_n)|^2 \geq |a-P_B(a)|^2 + 2\mathrm{Re}\langle a-P_B(a), x_n-a\rangle$$

4. 取极限完成证明：
   首先，$d(A,B)\leq|a-P_B(a)|$（因为$a\in A, P_B(a)\in B$）。结合上面的不等式和$d(x_n,B)=|x_n-P_B(x_n)|<d(A,B)+\frac{1}{n}$，我们有：
   $$\begin{align*}
   (d(A,B))^2
   &\leq |a-P_B(a)|^{2\leq|x_n-P_B(x_n)|}2 - 2\mathrm{Re}\langle a-P_B(a),x_n-a\rangle\
   &< \biggl(d(A,B)+\frac{1}{n}\biggr)^2 - 2\mathrm{Re}\langle a-P_B(a),x_n-a\rangle
   \end{align*}$$
   当$n\to\infty$时，右边的$\biggl(d(A,B)+\frac{1}{n}\biggr)^{2$趋向于$(d(A,B))}2$，而弱收敛的性质告诉我们$\lim_{n\to\infty}\langle x_n-a, a-P_B(a)\rangle=0$，所以右边第二项趋向于0。因此只能有$|a-P_B(a)|^2=(d(A,B))2$，也就是$d(a,b)=d(A,B)$，其中$b=P_B(a)$。

Case II：当$A$和$B$都无界，但满足$\lim_{|x|,|y|\to\infty} d(x,y) = \infty$时的证明 #

现在来解决这个无界的情况，核心思路是利用给定的极限条件，把问题转化为有界集的场景：

1. 构造距离逼近序列：
   根据$d(A,B)$的定义，取序列${x_n}\subset A, {y_n}\subset B$，使得$|x_n-y_n|\to d(A,B)$。我们先证明这个序列${x_n}$和${y_n}$都是有界的——只要证明了这一点，就能套用Case I的思路完成证明。

2. 反证法证明序列有界：
   假设${x_n}$或${y_n}$无界，不妨设$|x_n|\to\infty$（如果是$|y_n|\to\infty$，逻辑完全一致）。因为$|x_n-y_n|\to d(A,B)$（是有限数），所以$|y_n|\geq|x_n|-|x_n-y_n|\to\infty$，也就是$|y_n|\to\infty$。

   但题设条件是$\lim_{|x|,|y|\to\infty} d(x,y) = \infty$，当$|x_n|\to\infty$且$|y_n|\to\infty$时，$d(x_n,y_n)\to\infty$，这和$|x_n-y_n|\to d(A,B)$（有限数）矛盾！所以${x_n}$和${y_n}$必须都是有界的。

3. 套用Case I方法完成证明：
   因为${x_n}\subset A$有界，所以存在弱收敛子列$x_{n_k}\rightharpoonup a\in A$（$A$是闭凸集，弱闭）；同理${y_n}\subset B$有界，存在弱收敛子列$y_{n_k}\rightharpoonup b\in B$。

   利用希尔伯特空间中范数的弱下半连续性：$|a-b|\leq\liminf_{k\to\infty}|x_{n_k}-y_{n_k}|=d(A,B)$。而另一方面，$d(A,B)\leq|a-b|$（因为$a\in A,b\in B$），所以$|a-b|=d(A,B)$，也就是距离可达。

这样就完成了两种情况下的证明啦~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Stephen