求解△ACD所有可能周长的总和S

嘿，我来帮你理清楚这个问题的解法，不用Stewart定理也能搞定！

首先先整理已知条件：

• AC = AB + BC = 9 + 21 = 30
• △ACD是等腰三角形，AD = CD，我们设这个长度为整数m
• BD是整数，设为x

接下来的关键思路：∠ABD和∠CBD是邻补角（加起来180°），所以它们的余弦值互为相反数。我们可以对△ABD和△CBD分别用余弦定理：
在△ABD中，cos∠ABD = (AB² + BD² - AD²)/(2·AB·BD) = (81 + x² - m²)/(18x)
在△CBD中，cos∠CBD = (BC² + BD² - CD²)/(2·BC·BD) = (441 + x² - m²)/(42x)

因为cos∠ABD = -cos∠CBD，代入后消掉x（x是正数，不为0），得到方程：
(81 + x² - m²)/18 = -(441 + x² - m²)/42

两边通分计算后，最终可以化简出：
m² - x² = 189
也就是因式分解得到：(m - x)(m + x) = 189

现在我们来找这个等式的正整数解，注意几个限制条件：

1. m > x（因为m² = x² + 189，显然m更大）
2. m和x都是正整数，且(m - x)和(m + x)同奇偶（因为它们的和是2m，是偶数）
3. 要满足三角形三边关系：
   • 在△ABD中：9 + x > m（另外两个不等式显然成立，因为m > x，9+m肯定大于x，x+m肯定大于9）
   • 在△CBD中：21 + x > m，且x + m > 21（同样后两个不等式里，21+m>x和x+m>21，前者显然成立，后者需要验证）
   • 在△ACD中：2m > 30 → m > 15（因为等腰三角形两腰之和要大于底边AC）

现在列出189的所有正因数对（且同奇偶）：

• (1, 189)：解得m=(1+189)/2=95，x=(189-1)/2=94。验证：9+94>95（103>95，成立），21+94>95（115>95，成立），95>15，符合条件。
• (3, 63)：解得m=(3+63)/2=33，x=(63-3)/2=30。验证：9+30>33（39>33，成立），21+30>33（51>33，成立），33>15，符合条件。
• (7, 27)：解得m=(7+27)/2=17，x=(27-7)/2=10。验证：9+10>17（19>17，成立），21+10>17（31>17，成立），17>15，符合条件。
• (9, 21)：解得m=(9+21)/2=15，但m必须大于15，所以这个解舍去。

接下来计算每个符合条件的△ACD的周长：

• 当m=95时，周长=2×95 + 30=220
• 当m=33时，周长=2×33 + 30=96
• 当m=17时，周长=2×17 + 30=64

最后把这些周长相加，得到总和S=220+96+64=380。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Cuckoo Beats