紧可度量化拓扑群中拓扑传递平移蕴含群交换性的证明验证及紧性使用疑问
问题描述：设$G$是紧可度量化拓扑群，若存在$g_0 \in G$使得平移映射$L_{g_0}: G \to G$（定义为$L_{g_0}(g) = g_0g$）是拓扑传递的，证明$G$是交换群。
我自己试着给出了一个证明，但不确定过程里有没有用到紧性这个条件，想请大家帮忙检查一下。我的证明思路和步骤如下：
我们的核心目标是：对$G$上的任意度量$d$，对任意$\epsilon>0$，都有$d(g_1g_2, g_2g_1) < \epsilon$——这样就能推出$g_1g_2 = g_2g_1$，从而证明群$G$是交换的。
首先，我知道如果拓扑群$G$存在拓扑传递的平移$L_{g_0}$，那么$L_{g_0}$是极小的：也就是说，对任意$g \in G$，$L_{g_0}$作用在$g$上的轨道都是$G$中的稠密集。特别地，单位元$id$的轨道${L_{g_0}^n(id)}_{n \in \mathbb{Z}}$在$G$中是稠密的。
接下来利用群运算的连续性：
- 存在整数$n_1'$，使得$d(L_{g_0}^{n_1'}(id), g_1) < \delta_1'$，进而根据群运算的连续性，可得$d(g_2L_{g_0}^{n_1'}(id), g_2g_1) < \frac{\epsilon}{4}$；
- 同样存在整数$n_1''$，使得$d(L_{g_0}^{n_1''}(id), g_1) < \delta_1''$，进而推出$d(L_{g_0}^{n_1''}(id)g_2, g_1g_2) < \frac{\epsilon}{4}$。
取$\delta_1 = \min{\delta_1', \delta_1''}$，然后选取满足$d(L_{g_0}^{n_1}(id), g_1) < \delta_1$的整数$n_1$，这样上面两个不等式就都能成立。
类似地，我们继续找合适的整数$n_2$：
- 存在$n_2'$，使得$d(L_{g_0}^{n_2' + n_1}(id), g_2L_{g_0}^{n_1}(id)) < \frac{\epsilon}{4}$；
- 存在$n_2''$，使得$d(L_{g_0}^{n_1 + n_2''}(id), L_{g_0}^{n_1}(id)g_2) < \frac{\epsilon}{4}$。
这里要注意，$L_{g_0}^{m+n}(id) = L_{g_0}^{n+m}(id) = L_{g_0}n(id)L_{g_0}m(id)$，所以我们可以选取合适的$n_2$，让上面两个不等式同时成立。
最后利用度量的三角不等式：
$$
\begin{align*}
d(g_1g_2, g_2g_1) &\leq d(g_1g_2, L_{g_0}^{n_1+n_2}(id)) + d(L_{g_0}^{n_2+n_1}(id), g_2g_1) \
&\leq d(g_1g_2, L_{g_0}^{n_1}(id)g_2) + d(L_{g_0}^{n_1}(id)g_2, L_{g_0}^{n_1+n_2}(id)) + d(L_{g_0}^{n_2+n_1}(id), g_2L_{g_0}^{n_1}(id)) + d(g_2L_{g_0}^{n_1}(id), g_2g_1) \
&< \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{4} = \epsilon
\end{align*}
$$
这样就完成了证明。
我是第一次提问，格式可能有点粗糙，希望大家能帮我看看这个证明是否正确，另外我不确定自己在证明过程中有没有用到$G$的紧性条件？麻烦大家指点一下~
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nicolò
