群论中子群包含关系的证明求助：若Hg₁⊂Kg₂则H⊂K

嗨，我来帮你梳理一下思路！你已经走了很好的第一步，现在卡在了如何把$h=kg_2g_1^{-1}$和$K$联系起来对吧？这里关键要利用子群的性质以及陪集的定义来推导。

我们可以这样继续：

已知$Hg_1 \subset Kg_2$，那对于任意$h \in H$，$hg_1 \in Kg_2$，这和你写的一样，存在$k \in K$使得$hg_1 = kg_2$。

现在，我们可以把等式变形为$g_2g_1^{-1} = k^{{-1}h$（两边左乘$k}{-1}$，右乘$g_1^{-1}$就行）。

接下来，注意到**$H$是子群**，群的单位元$e$肯定属于$H$，我们把$h'=e$代入最初的条件：

• 当$h'=e$时，$eg_1 = g_1 \in Kg_2$，所以存在$k_0 \in K$使得$g_1 = k_0g_2$，也就是$g_2g_1^{-1} = k_0^{-1}$。

现在把这个结果代入之前的$h=kg_2g_1^{-1}$，就得到$h = kk_0^{{-1}$。而$K$是子群，子群对乘法封闭且逆元存在，所以$kk_0}{-1} \in K$，这不就证明了$h \in K$吗？

再帮你提炼一下核心逻辑：

• 先利用单位元属于子群的性质，把$g_1$和$Kg_2$关联起来，得到$g_2g_1^{-1}$是$K$中的元素
• 再把这个结论代入你之前得到的$h$的表达式，结合子群的封闭性，就能推出$h \in K$

这样是不是就通顺啦？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kushagra Agarwal