使用斯托克斯定理计算线积分出错求助：结果与正确值不符

大家好，我最近在做一道斯托克斯定理的线积分题，算出来的结果是$-1/3$，但正确答案是$-1$，实在找不到哪里错了，想请各位帮忙看看问题出在哪。

题目详情 #

设$\Sigma$是顶点为$(1,0,0)$、$(0,1,0)$和$(0,0,1)$的三角形，计算线积分
$$\int_\Sigma (x+y^2)dx+(y+z2)dy+(z+x^2)dz, $$
其中轮廓从点$(1,1,1)$看具有正方向，要求使用斯托克斯定理。

我的计算过程 #

1. 曲面参数化：我把三角形曲面参数化为$r(s,t)=(s,t,1-s-t)$，其中$0\leq t\leq 1-s$，$0\leq s\leq 1$，这部分应该没问题吧？
2. 计算向量场的旋度：定义向量场$F(x,y,z)=(x+y^2,y+z2,z+x^2)$，我算出旋度$\text{curl }F=(-2z,-2x,-2y)$，计算逻辑是：
   • 旋度的三个分量分别为$R_y-Q_z$、$P_z-R_x$、$Q_x-P_y$
   • 对应代入得$0-2z=-2z$，$0-2x=-2x$，$0-2y=-2y$，这一步应该是对的？
3. 求参数偏导的叉乘：$r_s=(1,0,-1)$，$r_t=(0,1,-1)$，叉乘结果$r_s\times r_t=(1,1,1)$，这个我核对过，应该没错。
4. 转化为曲面积分计算：根据斯托克斯定理，线积分等于旋度在曲面上的通量积分，也就是：
   $$\int_{0}^{1}\int_{0}{1-s}\text{curl }F(r(s,t))\cdot(r_s\times r_t)dtds$$
   *这里我犯了一个低级错误！*代入$\text{curl }F(r(s,t))$的时候，我错误地计算了点积：
   我写成了$-2(1-t-s+s+t)$，但实际上正确的代入应该是：
   $\text{curl }F(r(s,t))=(-2(1-s-t), -2s, -2t)$，和$(1,1,1)$点积的结果是：
   $-2(1-s-t) + (-2s) + (-2t) = -2 + 2s + 2t -2s -2t = -2$
   所以正确的积分应该是：
   $$\int_{0}^{1}\int_{0}{1-s} -2 , dtds = -2 \int_{0}^{1} (1-s) ds = -2 \times \left(1 - \frac{1}{2}\right) = -1$$
   这样就和正确答案一致了！

原来我在点积计算的时候粗心了，把参数代入后的项错误地合并，导致积分结果算错，现在纠正过来就对了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者per persson