关于光滑函数零测Borel集原像正测度是否蕴含存在正测度水平集的技术问询

各位实分析方向的同仁们，我最近遇到了一个值得探讨的问题，想和大家交流一下：

设 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 是光滑函数（个人觉得 $C^1$ 光滑性应该就足够支撑讨论，但如果能给出 $C^\infty$ 情形下的答案，我也完全接受）。

假设存在一个Lebesgue零测度的Borel集 $A\subset\mathbb{R}$，它的原像 $f^{-1}(A):={x\in\mathbb{R}:f(x)\in A}$ 具有正Lebesgue测度。

我的问题是：这种情况下，是否一定存在某个点 $a\in\mathbb{R}$，使得它的原像 $f^{-1}({a})$ 具有正测度？

另外补充两个相关的观察：

• 我们的条件其实已经能推出 ${x\in\mathbb{R}:f'(x)=0}$ 是正测度集——不然的话，我们可以直接排除掉这类集合 $A$ 的存在性，相关的推理逻辑相信大家都接触过类似的场景。
• 不过要注意，确实存在光滑的严格递增函数，满足 ${x\in\mathbb{R}:f'(x)=0}$ 是一个正测度的Cantor集（这类构造类似“魔鬼阶梯”），但这类函数的每个水平集都是单点集，测度为零，这也说明光有导数零点集正测度还不足以直接推出我们想要的结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Joel Moreira