样本均值的方差（Variance of sample mean）两种推导结果矛盾的原因排查求助

我通过链接读到一篇论文（第4页），里面有如下表达式：

$\begin{align}
Var(Y) = Var(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i) = \frac{1}{N^2}\sum_{i=1}N Var(X_i) = \frac{1}{N^2} N Var(X) = \frac{Var(X)}{N}
\end{align}$

这个推导我完全理解。

但当我尝试用更直接的方法推导时，得到了不一样的结果：

$\begin{align}
Var(Y) & = Var(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i) \
& = E((\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i)^2) - E(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i)^2 \
& = \frac{1}{N^{2}E(\sum_{i=1}}N \sum_{j=1}^N X_i X_j) - \frac{1}{N^2} E(\sum_{i=1}^N X_i)^2 \
& = \frac{1}{N^{2}(\sum_{i=1}}N \sum_{j=1}^N E(X_i X_j) - (\sum_{i=1}^N E(X_i))^2) \
& = \frac{1}{N^2}(N2 E(X^2) - N^2 E(X)^2) \
& = E(X^2) - E(X)^2 \
& = Var(X)
\end{align}$

（其中$X_i$是从某一分布中抽取的随机变量）

这个结果和第一种推导矛盾。

我查过相关内容，但没有找到深入的解释。

有没有人能帮我找出哪里出错了？

P.S. 这是我第一次在这个平台提问，希望大家不要太在意我的提问格式，反而能给我一些建议，谢谢。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者kotan