概形上秩n几何向量丛的等价定义相关问询
问题背景与疑问
首先明确Hartshorne给出的概形上几何向量丛的定义：
Let $Y$ be a scheme. A (geometric) vector bundle of rank $n$ over $Y$ is a scheme $X$ and a morphism $f:X\to Y$ together with additional data consisting of an open covering ${U_i}$ of $Y$ and isomorphisms $\psi_i:f^{-1}(U_i)\to \mathbb A^{n}{U_i}$ such that for any $i,j$, and for any open affine subset $V=\operatorname{Spec}A \subseteq U_i\cap U_j$ the automorphism $\psi = \psi_j\circ\psi{i}^{-1}$ of $\mathbb A^{n}{V}$ is given by a linear automorphism $\theta$ of $A[x_1,\cdots,x_n]$, i.e, $\theta(a)=a$ for any $a\in A$ and $\theta(x_i)=\sum a{ij}x_j$ for suitable $a_{ij}\in A$.
我已经了解到，秩n向量丛可以等价于由开覆盖${U_i}$和满足上链条件（即$\psi_{ik}=\psi_{jk}\circ \psi_{ij}$）的同构$\psi_{ij}:\mathbb{A}{U_i\cap U_j}^n \to\mathbb{A}{U_j\cap U_i}^n$组成的数据，这些$\psi_{ij}$限制到仿射开子集$V\subseteq U_i\cap U_j$时由线性自同构诱导。
现在我的核心问题是：概形上秩n的向量丛是否等价于由开覆盖${U_i}$和满足上链条件的$\Psi_{ij}\in GL_n(\mathcal{O}(U_i\cap U_j))$组成的数据？
我知道流形上的向量丛等价于由开覆盖${U_i}$和满足上链条件的态射$T_{ij}: U_i\cap U_j \to GL_n$组成的数据，所以想确认代数几何中是否有同样的等价关系。
解答
嗨，这个问题的答案是完全肯定的，两者确实是等价的，下面我来一步步解释其中的对应关系：
从向量丛到$GL_n$上链数据
假设我们有一个满足Hartshorne定义的秩n向量丛$(X,f:X\to Y,{U_i,\psi_i})$。考虑过渡同构$\psi_{ij} = \psi_j \circ \psi_i^{-1}$，它在任意仿射开子集$V=\operatorname{Spec}A \subseteq U_i\cap U_j$上的限制是$\mathbb{A}^n_V = \operatorname{Spec}A[x_1,\dots,x_n]$的自同构，且由$A[x_1,\dots,x_n]$的线性自同构$\theta$诱导——这个$\theta$固定$A$中的所有元素，将每个$x_k$映射为$\sum_{l=1}^n a_{kl}x_l$，其中$a_{kl}\in A$。
因为$\theta$是环自同构，对应的系数矩阵$(a_{kl})$必须可逆，也就是属于$GL_n(A)$。而$A = \mathcal{O}Y(V)$，把这些局部的可逆矩阵沿着$U_i\cap U_j$的仿射开集粘起来，就得到了一个全局的截面$\Psi{ij} \in GL_n(\mathcal{O}_Y(U_i\cap U_j))$。
再看链条件：由于$\psi_{ik} = \psi_{jk} \circ \psi_{ij}$，对应的线性自同构是复合关系，反映到矩阵上就是$\Psi_{ik} = \Psi_{jk} \cdot \Psi_{ij}$，这正好是$GL_n$上链需要满足的相容条件。
从$GL_n$上链数据到向量丛
反过来，给定一组满足上链条件的$\Psi_{ij}\in GL_n(\mathcal{O}(U_i\cap U_j))$，我们可以构造对应的几何向量丛：
- 首先，对每个开集$U_i$，取局部平凡化模型$\mathbb{A}^n_{U_i}$；
- 在$U_i\cap U_j$上，利用$\Psi_{ij}$定义过渡同构：$\Psi_{ij}$给出了$\mathbb{A}^n_{U_i}|{U_i\cap U_j}$到$\mathbb{A}^n{U_j}|_{U_i\cap U_j}$的线性同构；
- 上链条件$\Psi_{ik} = \Psi_{jk} \cdot \Psi_{ij}$保证了这种粘合在三重交$U_i\cap U_j\cap U_k$上是相容的，最终粘合得到的概形$X$加上投影$f:X\to Y$，就是一个满足Hartshorne定义的秩n几何向量丛。
和流形情况的联系
你提到的流形情况和这里本质是相通的：在代数几何中，$\Psi_{ij}\in GL_n(\mathcal{O}(U_i\cap U_j))$和态射$T_{ij}: U_i\cap U_j \to GL_n$是一一对应的——因为$GL_n$是仿射概形，态射$U_i\cap U_j \to GL_n$等价于环同态$\mathbb{Z}[t_{11},\dots,t_{nn},\det^{-1}] \to \mathcal{O}Y(U_i\cap U_j)$，而这样的同态恰好由一个可逆矩阵$(t{kl}) \mapsto \Psi_{ij}$给出，只是把流形上的连续/光滑函数环换成了概形的结构层截面而已。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Eric
