关于递增函数上确界性质的证明疑问

你想通过证明$f(s) \leq s$和$f(s) \geq s$来推导$f(s)=s$的思路完全没问题，这是这类问题的标准切入方式，我帮你把这两部分的严谨证明理清楚：

先证 $f(s) \geq s$ #

不能直接只说“因为f是递增函数所以$f(s) \geq s$”，得结合上确界的定义一步步推导：

• 因为$s = \sup(A)$，根据上确界的定义，对于任意小的正数$\varepsilon > 0$，一定存在某个$x_0 \in A$，使得$s - \varepsilon < x_0 \leq s$。
• 而$x_0 \in A$意味着$f(x_0) > x_0$。
• 又因为$f$是递增函数，$x_0 \leq s$，所以$f(x_0) \leq f(s)$。
• 把上面的不等式串起来：$f(s) \geq f(x_0) > x_0 > s - \varepsilon$。
• 这个式子对任意$\varepsilon > 0$都成立，假设$f(s) < s$，那取$\varepsilon = s - f(s)$，就会得到$f(s) > s - (s - f(s)) = f(s)$，这显然矛盾，所以$f(s) \geq s$。

再证 $f(s) \leq s$ #

这里用反证法会更清晰直观：

• 假设$f(s) > s$，因为$f$的值域是$[a,b]$，所以$f(s) \in [s, b]$（毕竟已经证了$f(s) \geq s$）。
• 因为$f$是递增函数，对于任意满足$s < t < f(s)$的$t$（这样的$t$一定存在，因为$f(s) > s$且$f(s) \leq b$），有$f(t) \geq f(s) > t$，这说明$t \in A$。
• 但$t > s$，这和$s$是$A$的上确界矛盾——上确界是$A$的最小上界，现在居然有$A$中的元素比$s$大，说明$s$根本不是$A$的上界，矛盾。
• 所以假设不成立，因此$f(s) \leq s$。

结论 #

既然$f(s) \geq s$且$f(s) \leq s$，那必然有$f(s) = s$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Peter Sampodiras