如何证明两个椭圆表达式等价？
嘿，我来帮你捋清楚这个证明的思路！其实核心就是把第一个参数方程转换成极坐标形式，然后和第二个表达式对齐就行，步骤并没有你想象的那么繁琐～
首先，我们得明确直角坐标和极坐标的转换关系：极坐标里，$x = r \cos\phi$，$y = r \sin\phi$，而且$r^2 = x^2 + y^2$，$\phi$是极角（也就是从x轴到点的连线的角度）。
接下来一步步推导：
步骤1：从第一个参数方程计算$r^2$
第一个参数方程是：
$$(x,y) = \frac{1}{\sqrt{a\cos^2\theta + b\sin^2\theta}}( a\cos\theta, b\sin\theta)$$
先分别计算$x2$和$y2$：
$$x^2 = \frac{a^2 \cos2\theta}{a\cos2\theta + b\sin^2\theta}$$
$$y^2 = \frac{b^2 \sin2\theta}{a\cos2\theta + b\sin^2\theta}$$
把两者相加得到$r^2$：
$$r^2 = x^2 + y^2 = \frac{a^2 \cos^2\theta + b^2 \sin2\theta}{a\cos2\theta + b\sin^2\theta}$$
步骤2：找到参数$\theta$和极角$\phi$的关系
极角$\phi$满足$\tan\phi = \frac{y}{x}$，代入x和y的表达式，根号部分会直接约掉：
$$\tan\phi = \frac{b\sin\theta}{a\cos\theta} = \frac{b}{a}\tan\theta$$
整理一下就能得到：
$$\tan\theta = \frac{a}{b}\tan\phi$$
步骤3：用$\phi$的三角函数替换$\theta$的三角函数
我们可以利用三角函数的恒等式：$\cos^2\theta = \frac{1}{1+\tan2\theta}$，$\sin2\theta = \frac{\tan2\theta}{1+\tan2\theta}$，把$\tan\theta = \frac{a}{b}\tan\phi$代入进去：
$$\cos^2\theta = \frac{b2}{b2 + a^2 \tan^2\phi}$$
$$\sin^2\theta = \frac{a^2 \tan2\phi}{b2 + a^2 \tan^2\phi}$$
步骤4：代入$r^2$的表达式化简
先处理分子$a^2 \cos^2\theta + b^2 \sin^2\theta$：
$$a^2 \cdot \frac{b2}{b2 + a^2 \tan^2\phi} + b^2 \cdot \frac{a^2 \tan2\phi}{b2 + a^2 \tan^2\phi} = \frac{a2b2(1 + \tan2\phi)}{b2 + a^2 \tan^2\phi}$$
这里记住$1+\tan^2\phi = \sec^2\phi = \frac{1}{\cos2\phi}$，所以分子可以简化为$\frac{a2b2}{\cos2\phi}$。
再处理分母$a\cos^2\theta + b\sin^2\theta$：
$$a \cdot \frac{b2}{b2 + a^2 \tan^2\phi} + b \cdot \frac{a^2 \tan2\phi}{b2 + a^2 \tan^2\phi} = \frac{ab(b + a \tan2\phi)}{b2 + a^2 \tan^2\phi}$$
把$\tan^2\phi = \frac{\sin2\phi}{\cos2\phi}$代入括号里的部分，得到：
$$b + a \tan^2\phi = \frac{b\cos^2\phi + a\sin2\phi}{\cos2\phi}$$
所以分母就变成了$\frac{ab(b\cos^2\phi + a\sin2\phi)}{\cos2\phi(b^2 + a^2 \tan^2\phi)}$。
现在把分子分母代入$r2$的表达式，你会发现$(b2 + a^2 \tan2\phi)$和$\cos2\phi$都可以约掉，最后得到：
$$r^2 = \frac{ab}{a\sin^2\phi + b\cos^2\phi}$$
最后两边开平方，就得到了第二个表达式：
$$r(\phi) = \sqrt{\frac{ab}{a\sin^2\phi + b\cos^2\phi}}$$
这样就完成了两个表达式的等价证明啦！
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Anna
