关于含参数ν的无穷积分F_ν(t)的解析求解咨询

我正在尝试求解如下含参数$\nu \ge 0$的无穷积分：

$$
F_\nu(t) :=
\int_0^\infty \frac{u}{2\nu^2} \left( u+ \left( u^2+\nu2 \right)^\frac{1}{2} \right)
\left(
e^{-u} - e^{-\left(u2+\nu^2\right)\frac{1}{2}}
\right) \sin \left( ut \right) , \mathrm{d} u , ,
$$

当$\nu \to 0$时的简单极限我已经推导出来了：

$$
\lim_{\nu\to 0}
F_\nu (t) = \frac{1}{2} \int_0^\infty u, e^{-u} \sin \left(ut\right) , \mathrm{d} u
= \frac{t}{\left( 1+t^2 \right)^2} , .
$$

这个积分来自我正在解决的一个流体力学问题，涉及对偶积分方程，完整的问题我之前已经在另一个提问中提出过。

我尝试过的方法是将正弦函数和指数函数展开成级数，结果得到了包含超几何函数的双重求和，但这些求和的解析求值看起来完全无从下手。

我还尝试过假设$\alpha \ll 1$（注：此处$\alpha$应为$\nu$），对$F_\nu(t)$在$\alpha=0$处进行泰勒展开，结果发现除了正比于$\alpha^2$的项之外，其他所有项对应的积分都发散，这让基于泰勒展开的方法完全失效。

我想知道有没有什么巧妙的方法可以处理这个反常积分，任何帮助我都会非常感激！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Eulerian