含正弦函数的分式定积分手动推导方法问询

我想手动化简下面这个定积分：

$$
\int_0^a{\sin \left( \frac{n\pi}{a}x \right) \frac{1}{x}\sin \left( \frac{m\pi}{a}x \right) dx}
$$

需要分别讨论两种情况：(1) $n=m$ 和 (2) $n\neq m$。

我已经用Mathematica软件算出了结果，对应的代码和输出如下：

当$n=m$时，执行命令：

Integrate[1/x*Sin[n*Pi*x/a0] Sin[n*Pi*x/a0], {x, 0, a0}] // FullSimplify

得到的结果是：
$$\frac{1}{2} \left( \text{EulerGamma} - \text{CosIntegral}[2 n \pi] + \text{Log}[2 n \pi] \right)$$

当$n\neq m$时，执行命令：

Integrate[1/x*Sin[n*Pi*x/a0] Sin[m*Pi*x/a0], {x, 0, a0}] // FullSimplify

得到的结果是：
$$\frac{1}{2} \left( \text{CosIntegral}[(m - n) \pi] - \text{CosIntegral}[(m + n) \pi] - \text{Log}[m - n] + \text{Log}[m + n] \right)$$

整理成分段函数的形式就是：

$$
\left{ \begin{array}{l}
\frac{1}{2}\left( \gamma -\operatorname{Ci}\left( 2n\pi \right) +\ln \left( 2n\pi \right) \right) & n=m\
\frac{1}{2}\left( \operatorname{Ci}\left[ \left( m-n \right) \pi \right] -\operatorname{Ci}\left[ \left( m+n \right) \pi \right] +\ln \left( \frac{m+n}{m-n} \right) \right) & n\ne m\
\end{array} \right.
$$

这里$\gamma$是欧拉常数，$\operatorname{Ci}$是余弦积分函数。

现在我最想弄明白的是：能不能通过手动推导得到这个结果？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Vancheers