关于二阶常微分方程$u_{xx} + c^{2}u = 0$双曲正弦形式解的技术问询

我最近碰到一个微分方程的问题，想请大家帮忙解惑：给定复数$c \in \mathbb{C}$，求解二阶常微分方程
$$u_{xx} + c^{2}u = 0 \ \ \text{在区间} \ \ (a,b)$$
且满足边界条件$u(b) = 0$。为什么它的解可以写成
$$u(x) = u(a)\dfrac{\text{sinh}(c(x-b))}{\text{sinh}(c(a-b))} ?$$

我自己已经推导出这个方程的正弦形式解：
$$u(x) = u(a)\dfrac{\text{sin}(c(b-x))}{\text{sin}(c(b-a))}$$
利用$\sin(-y) = -\sin(y)$的三角恒等式，还能把它变形为
$$u(x) = u(a)\dfrac{\text{sin}(c(x-b))}{\text{sin}(c(a-b))}$$

但我始终搞不明白，为什么会出现双曲正弦$\text{sinh}$的形式？我知道三角函数和双曲函数之间的欧拉关系：
$$i\sin(y) = \text{sinh}(iy) \ \ \text{以及} \ \ \sin(iy) = i\text{sinh}(y)$$

另外我看到某文献的351页里有关于$w$函数的相关内容，我现在的问题其实是把那里面关于$w$的方程替换成$u$来表述的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user253963