关于Hulek光滑曲线正则微分局部表示证明的疑问及自证验证

一、初步定义 #

Let $C$ be a smooth algebraic curve.

在Hulek的《Elementary Algebraic Geometry》中，开子集 $U \subset C$ 上的微分形式被定义为截面：
$$ \varphi : U \to \bigcup_{x \in U} m_x / m_x^2 , \ \ \ \ \ \varphi(x) \in m_x / m_x^2,$$
其中对每个 $x \in U$，$m_x$ 是 $x$ 处局部环的极大理想（因为 $C$ 是光滑曲线，这个局部环是离散赋值环DVR）。

$\varphi$ 在点 $p$ 处正则，当且仅当存在 $p$ 的邻域 $V \subset U$ 上的正则函数 $f_1, \dots, f_l, g_1, \dots, g_l$，使得在 $V$ 上有 $\varphi = f_1 dg_1 + \dots + f_l dg_l$。微分 $dg_i$ 定义为：
$$ dg_i(x) = g - g(x) \ \ \ \text{mod } m_x^2.$$

容易证明这个定义满足微积分式的恒等式，比如 $d(h_1h_2) = h_1 dh_2 + h_2 dh_1$。

若 $t$ 是极大理想 $m_x$ 的生成元，则称 $t$ 是 $x$ 处的局部参数。

二、Hulek的结论与存疑证明 #

Hulek的结论 #

Hulek声称证明了如下结论：

设 $t$ 是光滑曲线 $C$ 上点 $P$ 处的局部参数，则存在 $P$ 的邻域 $U$，使得 $U$ 上的每个正则微分形式都可以表示为 $g dt$，其中 $g$ 是 $U$ 上的正则函数。

Hulek的证明步骤（存疑部分） #

Hulek首先假设 $C \subset \mathbb A_k^n$，引入坐标 $x_1, \dots, x_n$，定义 $C$ 的理想 $I(C)$ 由多项式 $F_1, \dots , F_l \in k[x_1, \dots, x_n]$ 生成。

他指出至少有一个坐标 $x_i$ 是 $P$ 处的局部参数，不妨设 $t_1 := x_1$ 是 $P$ 处的局部参数；同时，雅可比矩阵 $ \left[ \frac{\partial F_i}{\partial x_j} (P) \right]$ 的秩为 $n - 1$。这部分我是认同的。

接下来Hulek直接断言：可以利用 $0 = dF_i = \sum_j \frac{\partial F_i}{\partial x_j} dx_j$ 这类等式，将每个 $dx_i$ 局部表示为 $dx_i = h_i dt_1$，其中 $h_i$ 是正则函数。

这一步让我困惑：怎么构造这些局部表示？如何利用 $dF_i=0$ 或者雅可比矩阵秩为 $n-1$ 的条件？局部参数是坐标函数这一点有什么意义？我琢磨了很久都没搞懂Hulek用了什么代数技巧。

之后Hulek由此推出任意正则微分形式都能局部表示为 $g dt_1$，进而推广到任意局部参数 $t$ 的情况，但这一切都依赖于前面那个“魔法步骤”，我完全理解不了。

三、我的思路与证明 #

我自己想出了一种更繁琐的方法，和书中的写法差异很大：

设 $t$ 是 $P$ 处的任意局部参数，$t$ 生成局部环在 $P$ 处的极大理想 $m_P$，因此 $t$ 是1维 $k$-向量空间 $m_P / m_P^2$ 的基向量。

已知 $m_P / m_P^2$ 和 $P$ 处的余切空间之间存在典范 $k$-向量空间同构。余切空间是切线空间的对偶，可以表示为 $k^n / \text{Span}(\nabla F_1 (p), \dots, \nabla F_l (p))$，其中 $F_i$ 是 $C$ 的定义方程，$\nabla F_i (p) := (\frac{\partial F_i}{\partial x_1}(p), \dots, \frac{\partial F_i}{\partial x_n}(p))$。

通过这个同构，$t \in m_P / m_P^2$ 映射到 $\nabla t (p) := (\frac{\partial t}{\partial x_1}(p), \dots, \frac{\partial t}{\partial x_n}(p)) \in k^n / \text{Span}(\nabla F_1 (p), \dots, \nabla F_l (p) )$。因为 $\nabla t(p)$ 是这个1维空间的基向量，所以可以从 $F_i$ 中选出 $F_{k_1}, \dots, F_{k_{n-1}}$，使得 $n \times n$ 矩阵：

$$ M := \begin{bmatrix} \tfrac{\partial t}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial t}{\partial x_n} \ \tfrac{\partial F_{k_1}}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial F_{k_1}}{\partial x_n} \ \vdots & & \vdots \ \tfrac{\partial F_{k_{n - 1}}}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial F_{k_{n- 1}}}{\partial x_n} \end{bmatrix} $$

在 $P$ 处的行列式非零，因此在 $P$ 的某个Zariski开邻域 $U$ 上行列式也非零。

（注：这比Hulek观察到的“$F$ 的雅可比矩阵在 $P$ 的邻域秩为 $n-1$”更强）

我们有如下微积分恒等式：
$$ \begin{bmatrix} dt \ dF_{k_1} \ \vdots \ dF_{k_{n-1}} \end{bmatrix} = M \begin{bmatrix} dx_1 \ \vdots \ dx_n \end{bmatrix}. $$

两边取逆可得：
$$ \begin{bmatrix} dx_1 \ \vdots \ dx_n \end{bmatrix} = M^{-1} \begin{bmatrix} dt \ dF_{k_1} \ \vdots \ dF_{k_{n-1}} \end{bmatrix}. $$

注意到 $F_{k_1}, \dots , F_{k_{n-1}}$ 是 $C$ 的定义方程，因此在 $C$ 上有 $dF_{k_1} = \dots = dF_{k_{n-1}} = 0$。又因为 $\text{det}(M)$ 在 $U$ 上非零，所以 $M^{-1}$ 的元素都是 $U$ 上的正则函数。由此我们可以将每个 $dx_j$ 表示为 $dx_j = h_j dt$，其中 $h_j$ 是 $U$ 上的正则函数。

最后，对于 $U$ 上的任意正则函数 $g$，有：
$$ dg = \frac{\partial g}{\partial x_1} dx_1 + \dots + \frac{\partial g}{\partial x_n} dx_n = \left( \frac{\partial g}{\partial x_1} h_1 + \dots + \frac{\partial g}{\partial x_n} h_n \right) dt. $$

括号内的表达式是 $U$ 上的正则函数，至此得证。

四、请求帮助 #

我希望得到以下任意一点或全部的解答：

• Hulek在那个“魔法步骤”里到底想表达什么？
• 假设Hulek的论证成立，他的方法和我的有多相似？或许他的思路用到了我没注意到的关键想法？
• 如果Hulek的论证不成立（或者无法理解），那我的论证是否正确？如果正确，有没有权威资料用类似的论证方法？（我写书时会尽量严谨，但完全重写书中的证明时还是会有点不安）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kenny Wong