关于局部域标准化绝对值的技术疑问（基于J.S. Milne《代数数论》引理8.6）
我最近在学习J.S. Milne的《代数数论》笔记，看到引理8.6的时候遇到了两个搞不懂的问题，想请教一下大家：
引理背景：
设$K$是带有标准化绝对值$|.|_K$的局部域，$L$是$K$的$n$次有限可分扩张，$|.|_L$是$|.|_K$到$L$的唯一扩张。设$||.||$是与$|.|_L$等价的标准化绝对值，引理的结论是：对任意$a \in L$，有$||a|| = |a|_L^n$。
疑问1：局部域的标准化绝对值如何定义？
Milne在定理7.14之后只给出了数域的标准化绝对值定义：如果$|.|_K$是数域$K$中素理想$\mathfrak{p}$对应的$p$-adic绝对值，那么标准化绝对值取$\frac{1}{\mathbb{N}\mathfrak{p}}$，其中$\mathbb{N}\mathfrak{p}$是$\mathfrak{p}$的数值范数（也就是剩余类域$O_K/\mathfrak{p}$的大小）。但现在讨论的是局部域$K$，不是数域，这个定义怎么延伸到局部域上呢？我翻了前面的内容，没找到明确的说明。
疑问2：证明中$\frac{1}{\mathbb{N}\Pi} = \frac{1}{\mathbb{N}\pi}^f$的依据是什么？
引理的证明里，针对非阿基米德局部域$K$的情况，因为$||.||$和$|.|_L$等价，所以存在常数$c$使得$||.|| = |.|_Lc$。接着取$K$的素元$\pi$和$L$的素元$\Pi$，$\pi$在$O_L$中分解为$u\Pie$（$u$是$O_L$中的单位），然后有这样的推导：
$$||\pi|| = ||\Pi^e|| = \frac{1}{\mathbb{N}\Pi}^e = \frac{1}{\mathbb{N}\pi}^{ef} = |\pi|^n$$
我知道$f$是这个分解的惯性度，但搞不懂为什么$\frac{1}{\mathbb{N}\Pi} = \frac{1}{\mathbb{N}\pi}^f$？尤其是局部域里的$\mathbb{N}\Pi$和$\mathbb{N}\pi$到底是怎么定义的？
备注：内容来源于stack exchange，提问作者David Lui
