关于扎里斯基切空间态射满射性限制的疑问

嘿，这个问题问得相当关键——咱们先把背景再理一遍：给定复代数集之间的态射 $r: X\to Y$，$X'$ 是 $X$ 中包含点 $x_0$ 的代数子集，你已经知道如果 $r_*: T_{x_0} X\to T_{r(x_0)} Y$ 是单射，那它限制到 $T_{x_0} X'\to T_{r(x_0)} r(X')$ 也必然是单射。那反过来，原切映射是满射的话，限制后的切映射也一定是满射吗？

答案是否定的，咱们可以构造一个直观的反例来验证这一点：

• 取 $X = \mathbb{C}^3$（复三维仿射空间），坐标为 $(x, y, z)$，定点 $x_0 = (0,0,0)$；
• 取 $Y = \mathbb{C}^2$（复二维仿射空间），坐标为 $(s, t)$；
• 定义态射 $r: X\to Y$ 为 $r(x,y,z) = (x, y + xz)$。

先看原态射的切映射 $r_$：它对应的雅可比矩阵是
$$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \
z & 1 & x
\end{pmatrix}$$
在 $x_0=(0,0,0)$ 处，这个矩阵简化为 $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$，显然 $r_$ 是满射——三维切空间里的任意向量 $(a,b,c)$ 都会被映射到二维切空间的 $(a,b)$，完全覆盖目标空间。

接下来取 $X'$ 是 $X$ 中的代数子集 $y = z^2$，也就是 $X' = {(x, z^2, z) \mid x,z\in\mathbb{C}}$，显然 $x_0$ 属于这个子集。现在看 $r$ 在 $X'$ 上的限制：代入 $y=z^2$ 后，$r|_{X'}(x,z) = (x, z^2 + xz)$。

咱们分析切空间的情况：

• $T_{x_0}X'$ 是二维的：$X'$ 可以用 $(x,z)$ 局部参数化，对 $x$ 求导得到切向量 $(1,0,0)$，对 $z$ 求导在 $z=0$ 处得到 $(0,0,1)$，这两个向量张成了 $X'$ 在 $x_0$ 处的切空间。
• 限制后的切映射 $(r|{X'})$：把 $(1,0,0)$ 映射到 $(1, 0 + 10) = (1,0)$，把 $(0,0,1)$ 映射到 $(0, 0 + 0*1) = (0,0)$，所以它的像只有一维，由 $(1,0)$ 张成。

而另一方面，$r(X')$ 其实就是整个 $Y=\mathbb{C}^2$——因为对任意 $(s,t)\in\mathbb{C}^2$，解方程 $z^2 + s z - t = 0$ 总能找到复数解 $z$，所以 $T_{r(x_0)}r(X')$ 是二维的。显然，一维的像不可能满射到二维空间，这就直接说明限制后的切映射不是满射。

所以结论很明确：原态射的切映射是满射，不代表它限制到代数子集上的切映射也一定是满射，这和单射的情况有着本质区别。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Adam