构造性论证中去除重复区间是否需要选择公理？

嘿，这个问题问到点子上了，咱们好好捋一捋～

首先先回顾下原论证的背景：我们已经把实数集里的开集(U)拆成了可数个有理点对应的开区间(I_q)的并集，但这些(I_q)可能会重复——比如两个不同的有理点(q_1)和(q_2)，它们对应的最大含于(U)的开区间可能是同一个。现在要把这些重复的区间去掉，得到一个两两不交的可数开区间族，同时还能覆盖(U)，这时候要不要用到选择公理呢？

答案是完全不需要，我们可以用纯构造性的方法来完成这件事，全程不需要任何“选择”操作：

• 首先，我们知道(U)里的有理点是可数的，所以可以把它们明确地排成一个序列：(q_1, q_2, q_3, \dots)。这个枚举是完全构造性的，比如可以用经典的对角线排序法（把有理数按分子分母的和从小到大排，相同和的按分子从小到大排），根本不需要选择公理。
• 接下来我们逐个处理这个序列里的每个有理点：
  • 先把第一个点(q_1)对应的(I_{q_1})保留下来，记为(J_1)；
  • 处理第二个点(q_2)时，直接判断(I_{q_2})和(J_1)是否完全相同——因为(I_q)是包含(q)且含于(U)的最大开区间，两个开区间是否相等可以通过它们的端点（下确界和上确界）来明确判定，不需要模糊的选择；如果(I_{q_2})和(J_1)不一样，就把它保留为(J_2)，否则直接跳过；
  • 处理第三个点(q_3)时，同样检查(I_{q_3})是否和已经保留的(J_1、J_2)中的某一个完全相同，是就跳过，不是就保留为(J_3)；
  • 以此类推，对每个(n \geq 1)，我们都能明确判定(I_{q_n})是否已经被之前保留的某个(J_k)（(k < n)）重复，如果没重复就加入我们的“无重复区间族”。

这么操作下来，最后得到的({J_k})就是一个两两不交的可数开区间族，而且完全覆盖(U)——因为原来的每个(I_q)要么被保留了，要么和某个已保留的(J_k)完全相同，所以原并集的覆盖性不会受影响。

为什么说这个过程不需要选择公理呢？因为每一步都有明确的规则，没有任何“从一堆不确定的选项里选一个”的操作：有理点的枚举是构造出来的，区间是否重复是可判定的，全程都是确定的步骤，不需要依赖选择公理来完成。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者chuck