泰勒多项式求导后余项的变化及相关性问题

好问题！咱们一步步拆解这个疑惑：

首先得明确一个前提：你这里的 ( F(x) ) 应该是 ( f(x) ) 的原函数（也就是 ( F'(x) = f(x) )），对吧？先从你给出的第一个式子说起：

( F(x+h) = F(x) + hf(x) + \frac{h^2}{2}f'(x) + \frac{h^3}{6}f''(x) + \frac{h^4}{24}f'''(\xi) )

这是 ( F(x) ) 在点 ( x ) 处的带拉格朗日余项的泰勒展开，其中 ( \xi ) 是介于 ( x ) 和 ( x+h ) 之间的某个数——注意这里的 ( \xi ) 其实是依赖于 ( h ) 的，也就是 ( \xi = \xi(h) )，只是我们通常简化写成 ( \xi ) 而已。

接下来你说对这个式子求导得到 ( f(x+h) ) 的展开，这里有个容易踩坑的点：不能直接忽略余项里 ( \xi(h) ) 的导数！你之前直接求导得到的式子：
f(x+h) = f(x) + hf'(x) + \frac{h^2}{2}f''(x) + \frac{h^3}{6}f'''(x)
其实是不严谨的，因为余项 ( \frac{h^4}{24}f'''(\xi) ) 对 ( h ) 求导时，除了对 ( h^4 ) 求导，还要考虑 ( \xi(h) ) 对 ( h ) 的导数，这部分你没算进去。

那正确的 ( f(x+h) ) 的泰勒展开应该是什么样的？它本身的带拉格朗日余项的展开式是：
f(x+h) = f(x) + hf'(x) + \frac{h^2}{2}f''(x) + \frac{h^3}{6}f'''(x) + \frac{h^4}{24}f''''(\eta)
这里的 ( \eta ) 同样是介于 ( x ) 和 ( x+h ) 之间的某个数，但这个 ( \eta ) 和之前 ( F(x+h) ) 里的 ( \xi ) 不一定是同一个数。

关于两个余项中 ( \xi ) 和 ( \eta ) 的相关性 #

两者唯一的确定关系是：它们都落在区间 ( (x, x+h) ) 内（如果 ( h>0 ) 的话，若 ( h<0 ) 则是 ( (x+h, x) )），但没有必然的相等关系。因为它们来自两个不同的泰勒展开：一个是原函数 ( F ) 的展开余项，另一个是 ( f ) 自身的展开余项，各自的余项是由对应的函数高阶导数在区间内的某个点取到极值来确定的，所以一般情况下 ( \xi \neq \eta )。

总结一下：

• 直接对 ( F(x+h) ) 的泰勒展开求导不能直接得到 ( f(x+h) ) 的无余项展开，因为余项里的 ( \xi ) 依赖于 ( h )，求导时会额外产生一项；
• ( f(x+h) ) 自身的泰勒展开余项中的点 ( \eta ) 和 ( F(x+h) ) 里的 ( \xi ) 没有必然相等的关系，只是同属一个区间。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者D.G. van de Schepop