关于正态分布N(0,n)的CDF在n→∞时极限的求解疑惑与求证

我现在在求解正态分布$\text{N}(0,n)$对应的概率测度当$n \to \infty$时的CDF极限。我定义$F_n(u)$是$\text{N}(0,n)$的CDF，一开始直觉告诉我$F_n(u) \to F(u)=0$，但实际推导出来的结果完全不一样，这让我很困惑。

我的第一次尝试用了控制收敛定理，思路是这样的：
$$ \lim_{n \to \infty} F_n(u) = \lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^u \frac{1}{\sqrt{2 \pi n}} e^{- \frac{x^2}{2n}} \text{d}x = \int_{-\infty}^u \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi n}} e^{- \frac{x^2}{2n}} \text{d}x $$
但这条路走不通，因为我找不到合适的可积上界函数。

然后我换了一种方法，结果却让我更疑惑：
假设$X \sim \text{N}(0,n)$，我们可以把$X$写成$X = \sqrt{n}Z$，其中$Z \sim \text{N}(0,1)$。这样的话：
\begin{align*}
F_n(u) &= \mathbb{P}(X \leq u) \
&= \mathbb{P}(\sqrt{n}Z \leq u) \
&= \mathbb{P}\left( Z \leq \frac{u}{\sqrt{n}} \right)\
&= \Phi\left(\frac{u}{\sqrt{n}} \right)
\end{align*}
由此可以得到：
$$ \lim_{n \to \infty} F_n(u) = \lim_{n \to \infty} \Phi\left(\frac{u}{\sqrt{n}} \right) = \Phi(0) = \frac{1}{2} $$

我实在很难相信这个结果。当$n$趋向无穷时，这个概率测度的方差趋向无穷，但均值还是0。如果这个结果是对的，有没有什么直观的解释？还是我的推导哪里错了？要不要回到控制收敛定理的思路上？希望能得到一些指导。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者YessuhYessuhYessuh