关于二元函数$f(x,y)=rac{x^a y^b}{x^{2c}+y^{2d}}$在$(x,y)\to(0,0)$时收敛性的证明完善求助

我正在研究二元函数$f(x,y) : \mathbb R^2 \to \mathbb R = \frac{x^a y^b}{x{2c} + y^{2d}}$（其中$a, b,c ,d \in \mathbb N$）在$(x,y)\to(0,0)$时的收敛性，目前已经完成了部分证明，但剩余部分卡住了，想请大家帮忙完善思路。

已完成的证明部分 #

当$a \geq 2c$或者$b \geq 2d$时，我已经证得$f$在趋近原点时收敛到0：
因为$x^{2c}, y^{2d} \geq 0$，当$a \geq 2c$且$|x|,|y| < 1$时，

$$\left |\frac{x^a y^b}{x{2c} + y^{2d}} \right | \leq \left | \frac{x^a y^b}{x{2c}} \right | \leq |y^b| \to 0$$

用类似的逻辑，当$b \geq 2d$时也能得到相同结论。

待完善的猜想与尝试 #

我猜想当$a < 2c$且$b < 2d$时，$f$会发散，但一直没法完成证明。我尝试了以下几种思路，但都没走通：

• 观察到$f$在x轴上的极限是0，所以只要找到任意一条路径让$f$的极限不为0就能证明发散。我试过沿着$y=x$这条线分析，但没法证明它始终大于某个$\varepsilon$；
• 尝试把$\left | \frac{x^{a+b}}{x{2c} + x^{2d}} \right |$和$\left |\frac{x^{a+b}}{x{2c+2d}}\right| \to \infty$联系起来，想通过部分分式分解推导，但没找到突破口；
• 想找一个$y$关于$x$的函数，让$f$沿着这条路径始终大于某个常数，尝试解$f(x,y) \geq k$求$y$，但解不出来；
• 把$f$拆成$\frac{x^a}{x{2c}} \cdot \frac{y^b}{1+y{2d}/x^{2c}}$，左边的因子趋向无穷，但右边趋向0，没法直接用这个拆分分析；
• 对上面的拆分用洛必达法则，但需要先确定$y$和$x$的关系，选最简单的$y=x$的话，得到$\frac{1}{x^{2c - (a+b)} + x^{2d - (a+b)}}$，这个方法只在$2c \geq a + b$且$2d \geq a + b$时能完成证明，但当$2c < a + b$或者$2d < a + b$时就失效了；
• 我甚至怀疑自己的猜想是不是错了——会不会当$2c < a + b$或者$2d < a + b$时$f$其实是收敛的？但要证明这个也没头绪。

希望大家能帮我看看：我之前的思路有没有错误？有没有漏掉什么关键的切入点？或者能不能把我尝试过的某一种思路继续推进下去？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SRobertJames