关于连续局部鞅时间变换为布朗运动的命题证明中，控制收敛定理在条件期望中的应用疑问

嘿，我来帮你把这里的逻辑理清楚，搞明白怎么用控制收敛定理（DCT）推导出$(\star)$式：

首先，咱们先明确几个关键前提：

• $\tau_n$是使得$|M_t| \geq n$的首达时，所以对任意$t$，$|M_{t \wedge \tau_n}| \leq n$，而且当$n \to \infty$时，$\tau_n \to \infty$几乎必然（因为$M$是连续局部鞅，路径局部有界，而$\tau(s_2)$是有限的——毕竟$\langle M\rangle_t \to \infty$几乎必然）。
• 由可选停时定理，我们已经得到：
  $$\mathbb{E}\left(M_{\tau\left(s_2\right) \wedge \tau_n} \mid \mathcal{F}{\tau\left(s_1\right)}\right)=M{\tau\left(s_1\right) \wedge \tau_n} \quad \text{几乎必然}$$

现在要让$n \to \infty$，把这个式子过渡到$(\star)$，核心是找到满足DCT要求的控制变量：

1. 找到不依赖$n$的可积控制变量 #

注意到$\tau(s_2) \wedge \tau_n \leq \tau(s_2)$，所以$|M_{\tau(s_2) \wedge \tau_n}| \leq \sup_{t \in [0, \tau(s_2)]} |M_t|$。
接下来用Doob的L²不等式验证这个上确界是可积的：
对于鞅$M^{\tau_n}$，Doob不等式给出：
$$\mathbb{E}\left(\sup_{t \in [0, \tau(s_2)]} |M_{t \wedge \tau_n}|^2\right) \leq 4\mathbb{E}\left(|M_{\tau(s_2) \wedge \tau_n}|^2\right)$$
而因为$M^{\tau_n}$是鞅，根据连续鞅的伊藤等距，$\mathbb{E}\left(|M_{\tau(s_2) \wedge \tau_n}|^2\right) = \mathbb{E}\left(\langle M\rangle_{\tau(s_2) \wedge \tau_n}\right)$。又因为$\langle M\rangle$是非减过程，$\langle M\rangle_{\tau(s_2) \wedge \tau_n} \leq \langle M\rangle_{\tau(s_2)} = s_2$（由$\tau(s)$的定义直接得出），所以：
$$\mathbb{E}\left(\sup_{t \in [0, \tau(s_2)]} |M_{t \wedge \tau_n}|^2\right) \leq 4s_2 < \infty$$
再用Fatou引理，可得：
$$\mathbb{E}\left(\sup_{t \in [0, \tau(s_2)]} |M_t|^2\right) \leq \liminf_{n \to \infty} \mathbb{E}\left(\sup_{t \in [0, \tau(s_2)]} |M_{t \wedge \tau_n}|^2\right) \leq 4s_2$$
这说明$\sup_{t \in [0, \tau(s_2)]} |M_t|$是L²可积的，自然也是L¹可积的——这就是我们要找的、不依赖$n$的控制变量$Z = \sup_{t \in [0, \tau(s_2)]} |M_t|$。

2. 应用条件期望的控制收敛定理 #

当$n \to \infty$时，$\tau_n \to \infty$几乎必然，所以$\tau(s_2) \wedge \tau_n \to \tau(s_2)$几乎必然；再结合$M$的连续性，$M_{\tau(s_2) \wedge \tau_n} \to M_{\tau(s_2)}$几乎必然。

现在我们完全满足了DCT的条件：$|M_{\tau(s_2) \wedge \tau_n}| \leq Z$（$Z$可积），且$M_{\tau(s_2) \wedge \tau_n} \to M_{\tau(s_2)}$几乎必然。于是根据条件期望的控制收敛定理：
$$\mathbb{E}\left(M_{\tau(s_2) \wedge \tau_n} \mid \mathcal{F}{\tau(s_1)}\right) \to \mathbb{E}\left(M{\tau(s_2)} \mid \mathcal{F}{\tau(s_1)}\right) \quad \text{几乎必然}$$
而左边的极限就是$M{\tau(s_1)}$——因为当$n \to \infty$时，$\tau_n \to \infty$，所以$M_{\tau(s_1) \wedge \tau_n} \to M_{\tau(s_1)}$几乎必然。

这样就推导出了$(\star)$式：
$$\mathbb{E}\left(M_{\tau\left(s_2\right)} \mid \mathcal{F}{\tau\left(s_1\right)}\right)=M{\tau\left(s_1\right)} \quad \text{几乎必然}$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Akira