关于无向连通图中重要顶点到任意顶点距离查询的预处理方案验证问询

嘿，我仔细琢磨了你的思路和问题，先直接点出你方案里的核心问题，再给你梳理正确的方向哈。

首先明确下问题的核心需求：我们需要预处理后，能回答指定的某个重要顶点u到任意顶点v的最短距离，而不是v到随便哪个重要顶点的最近距离——这一点你的方案完全没满足，咱们拆解下：

你的方案的核心问题 #

你提出的把所有重要顶点作为起点跑类似Dijkstra的算法，最后得到的是每个顶点到「最近的重要顶点」的距离，但这和查询要求的「特定重要顶点u到v的距离」完全是两回事。举个例子：假设v离重要顶点u₁的距离是5，离另一个重要顶点u₂的距离是3，你的方案里存的是3，但如果用户问u₁到v的距离，你根本拿不出正确的5，这就完全偏离了需求。

另外你对存储的估算也站不住脚：就算你存了这个最近距离数组，它也没法支撑查询需求，所以这个数据结构S从根上就不符合问题要求。

符合需求的可行预处理方案（满足空间限制） #

既然H的大小最多是40，N是1000，我们可以换个思路，同时兼顾空间和查询需求：

预处理阶段（Step A）

1. 计算重要顶点两两之间的最短距离：对每个重要顶点u∈H，跑一遍Dijkstra（如果是无权图用BFS更快），得到u到所有其他重要顶点的距离，把这些值存在一个M×M的矩阵里（M是H的大小）。
2. 存储所有顶点到每个重要顶点的距离（压缩版）：
   因为直接存40×1000个距离（每个用10位存最大999的距离）会到40万位，超了10万位的限制，所以我们可以用变长编码（比如Gamma编码）来压缩：对于小距离用更少的位存储，大距离用稍多的位，平均下来能把每个距离的存储位降到2.5位左右，总空间就能控制在10万位以内，而且编码过程是多项式时间的。

查询阶段（Step B）

• 如果查询的v是重要顶点，直接从两两距离矩阵里取结果。
• 如果v是非重要顶点，从S中取出该顶点到u的编码值，解码后直接返回即可。

补充说明 #

如果图是有权图，Dijkstra算法是必须的；如果是无权图，BFS会更高效。另外，预处理时对每个重要顶点单独跑最短路径是多项式时间的（40次Dijkstra，每次O(N log N + E)，对于N=1000、E最多约50万的图来说完全没问题），查询阶段是O(1)（解码过程也是常数时间），完全符合题目要求的多项式时间限制。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者hah