行线性函数下行列式反对称性与交错性的等价性证明完善及简化方法问询
问题定义
设 $d: \mathbb F^{m \times n} \to \mathbb F$ 是一个从实矩阵到标量的行线性函数，满足以下两个核心条件：
- (i) 对任意矩阵 $M$，若 $M'$ 是将 $M$ 的某一行乘以任意标量 $r$ 得到的矩阵，则 $d(M) = r d(M')$。
- (ii) 对任意矩阵 $M$，若存在矩阵 $P, Q$，使得 $M$ 的某一特定行是 $P$ 和 $Q$ 对应行的和，且 $M$ 的其他所有行与 $P$、$Q$ 的对应行完全相等，则 $d(M) = d(P) + d(Q)$。
需要证明以下两个性质等价：
- (a) 若矩阵 $M$ 和 $M'$ 仅交换了某一行，则 $d(M) = -d(M')$（反对称性）。
- (b) 若矩阵 $M$ 有任意两行完全相同，则 $d(M) = 0$（交错性）。
我的部分证明
我已经完成了其中一个方向的证明，但另一个方向遇到了瓶颈，同时希望能把整个证明打磨得更清晰（甚至连问题表述我都觉得可以优化）。
(a) ⇒ (b) 的证明
这部分逻辑很直接：考虑有两行 $i$ 和 $i'$ 完全相同的矩阵 $A$，设 $d(A) = k$。交换行 $i$ 和 $i'$ 后得到的矩阵还是 $A$ 本身，但根据性质 (a)，交换后的矩阵的函数值应为 $-k$。因此有 $k = -k$，即 $k = 0$，得证。
(b) ⇒ (a) 的待完成证明
考虑仅交换了行 $i$ 和 $i'$ 的两个矩阵 $A$ 和 $B$，令 $C = A + B$。由于 $C$ 的行 $i$ 和行 $i'$ 完全相同（$A$ 的行 $i$ 是 $B$ 的行 $i'$，$A$ 的行 $i'$ 是 $B$ 的行 $i$，相加后两行相等），根据性质 (b) 有 $d(C) = 0$。
如果除了行 $i$ 之外的其他行都是零矩阵，我能轻松利用行线性性质完成证明，但当矩阵其他行非零时，我就卡住了。我猜想可以通过对非零行的数量做归纳来证明，但始终没法补全细节。
后续疑问与更新
后来我了解到性质 (a) 被称为反对称性，性质 (b) 被称为交错性，在多线性形式中这两者是等价的，但我还有不少困惑：
- 我不确定自己的行线性条件 (i)(ii) 是否足够让 $d$ 成为多线性形式，也不太理解多线性形式和普通线性函数的区别——是把每一行当作一个线性输入，还是每个矩阵元素？
- 有资料提到可以用分配律“展开”复杂矩阵到仅行 $i$ 非零的简单情况，但我还没证明 $d$ 满足分配律，也不知道具体怎么展开。
- 这个问题来自入门级的线性代数笔记，我没想到需要这么复杂的理论工具，有没有更简单的方法或者更直观的理解角度？
之后我找到了更清晰的资料，里面提到：
多线性性质：设 $i$ 是 1 到 $n$ 之间的整数，固定 $n-1$ 个向量 $v_1, v_2, ..., v_{i-1}, v_{i+1},...,v_n$，若 $f(v_1, v_2, ..., v_{i-1},x v_i + y w_i,...,v_n)$ 对所有 $i$ 关于 $x,y$ 线性，则 $f$ 是多线性的。
在更理论的处理中，行列式的定义常被设定为：
- 行列式对矩阵的行是多线性的
- 若矩阵有两行相同，则行列式为0
- 单位矩阵的行列式为1
这份资料里给出了等价性的简单直接证明，但我还是需要补全自己的证明细节。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者SRobertJames
