实分析非负可测函数积分正性等价性证明的正确性验证请求

大家好，我正在准备即将到来的实分析考试，目前在研究Sheldon Axler的《Measure, Integration, and Real Analysis》教材里3A章节的第3题。题目内容如下：

假设$(X,S,\mu)$是一个测度空间，$f:X\to[0,\infty]$是一个$S$-可测函数。证明：
$$\int fd\mu>0 \quad\text{if and only if}\quad \mu({x\in X:f(x)>0})>0.$$

我参考了教材里的定义3.1、3.2和3.3（分别是$S$-划分、下勒贝格和、非负函数的勒贝格积分），自己写了一份证明，但不确定是否正确，想请各位帮忙验证一下。我的证明过程如下：

证明：令$F={x\in X:f(x)>0}$。

($\implies$) 我们采用逆否命题的思路来证明这个方向。假设$\mu(F)=0$，设$P={A_1,\dots,A_n}$是任意一个$S$-划分，那么：

$$\begin{align*}
L(f;P)&=\sum_{i=1}^n \mu(A_i)\inf_{A_i}f\
&=\sum_{A_i\not\subset F}\mu(A_i)\inf_{A_i}f\
&=\sum_{A_i\not\subset F}\mu(A_i)\cdot 0 = 0.
\end{align*}$$

由于$P$是任意选取的$S$-划分，这意味着$f$的所有勒贝格下和都为0，因此$\int fd\mu=0$。

($\impliedby$) 假设$\mu(F)>0$。注意到$F=f^{-1}((0,\infty])$，而$(0,\infty]$是一个博雷尔集，且$F$是$S$-可测的，所以$F\in S$。那么$Q={F,X\setminus F}$是一个合法的$S$-划分，并且：

$$\int fd\mu\geq L(f;Q)=\mu(F)\inf_{F}f+\mu(X\setminus F)\inf_{X\setminus F}f=\mu(F)\inf_{F}f>0. $$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者blakedylanmusic