关于满足特定矩阵等式的2×2正矩阵元素判定的问询

这是个挺有意思的矩阵问题，我们分两种常见的“正矩阵”定义场景来拆解，结论会有所不同：

情况1：μ和ν是正定矩阵 #

如果μ和ν是正定矩阵，我们可以直接推导矛盾：

• 首先，可逆矩阵的共轭转置变换会保持矩阵的正定性，所以s*μs和t*νt都是正定矩阵（当然也属于半正定矩阵）。
• 它们的和是e₁₁（仅第一行第一列元素为1，其余为0的矩阵），而e₁₁的第二行第二列元素是0。由于两个半正定矩阵的对角元都是非负的，要让它们的和为0，必须各自的第二行第二列元素都为0。
• 但对于正定矩阵μ来说，s是可逆矩阵，它的第二列s₂是非零向量，那么s₂^*μs₂（也就是s*μs的第二行第二列元素）必然大于0——这是正定矩阵的核心性质：对任何非零向量的二次型结果都是正的。这就和“第二行第二列元素为0”的结论矛盾了。

也就是说，不存在满足题设条件的可逆复矩阵s和t，原问题的前提不成立，自然谈不上是否能推出μ₂₂=ν₂₂=0。

情况2：μ和ν是半正定矩阵 #

这时候我们可以构造反例，证明不能推出μ₂₂=ν₂₂=0：

1. 取半正定矩阵μ = [[1, 1], [1, 1]]（显然μ₂₂=1≠0），再取可逆矩阵s = 0.5 * [[1, 1], [0, -1]]：
   • 计算可得s*s = [[0.25, 0.25], [0.25, 0.5]]，此时I - s*s = [[0.75, -0.25], [-0.25, 0.5]]是正定矩阵（行列式为0.3125>0，迹为1.25>0）。
   • 进一步计算s*μs = [[0.25, 0], [0, 0]]，刚好是e₁₁的四分之一。
2. 令t为I - s*s的正定平方根（显然t可逆），再定义半正定矩阵ν = t^{-*} [[0.75, 0], [0, 0]] t^{-1}：
   • 此时t*νt = [[0.75, 0], [0, 0]]，因此s*μs + t*νt = [[0.25+0.75, 0], [0, 0]] = e₁₁，完全满足题设等式。
   • 计算ν₂₂：它等于e₂^*νe₂ = 0.75 * |(t^{-1}e₂)_1|²，由于t可逆，t^{-1}e₂是非零向量，其第一个分量不为0，因此ν₂₂>0≠0。

这个反例清晰说明，当μ和ν是半正定矩阵时，满足题设条件的情况下，μ₂₂和ν₂₂可以都不为0，因此不能得出它们必为0的结论。

总结一下：

• 若“正矩阵”指正定矩阵：不存在满足条件的s,t，问题前提不成立；
• 若“正矩阵”指半正定矩阵：不能推出μ₂₂=ν₂₂=0，存在明确反例。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者budi