求证区间(0,3)内特定不等式成立的方法咨询

我需要证明对于所有 ( m \in (0, 3) )，以下不等式成立：

$$\sqrt {{m^2} + 1} + \sqrt {{{\left( {3 - m} \right)}^2} + 1} \le \sqrt {\frac{{2\left( {4{m^2} - 12m - 15} \right)}}{{(m - 3)m}}} - 1.$$

我已经定义了两个函数：
$$f\left( m \right) = \sqrt {{m^2} + 1} + \sqrt {{{\left( {3 - m} \right)}^2} + 1},$$
$$g\left( m \right) = \sqrt {\frac{{2\left( {4{m^2} - 12m - 15} \right)}}{{(m - 3)m}}} - 1.$$

但这两个函数都不是单调的，而且构造差函数 ( h(m) = f(m) - g(m) ) 后，它的导数形式非常复杂，很难处理。我还尝试过两边平方的方法，甚至连平方四次之后，表达式依然繁琐得难以推进。

有没有更简洁的思路来证明这个不等式呢？求各位大神指点，感谢！

几个可行的简化思路： #

• 先简化右边的表达式：先处理根号内的分式，把分子拆分变形：
  分子 (4m^2 -12m = 4m(m-3))，代入后根号里的式子可以化简为：
  $$\frac{2[4m(m-3)-15]}{m(m-3)} = 8 - \frac{30}{m(m-3)}$$
  因为 (m \in (0,3))，所以 (m(m-3)) 是负数，负负得正后，根号内的式子其实是 (8 + \frac{30}{m(3-m)})，这样右边就变成了 ( \sqrt{8 + \frac{30}{m(3-m)}} - 1 )，形式清爽很多，后续处理起来会方便不少。
• 换元法简化变量：令 ( t = m(3 - m) )，因为 ( m \in (0,3) )，所以 ( t ) 的取值范围是 ( (0, \frac{9}{4}] )（当 (m=\frac{3}{2}) 时取到最大值）。
  先把左边的 (f(m)) 用 (t) 表示：
  展开 (f(m)^2) 可得 (m^2+1 + (3-m)^2+1 + 2\sqrt{(m^2+1)((3-m)2+1)})，其中 (m^2 + (3-m)^2 = 9 - 2t)，所以 (f(m)^2 = 11 - 2t + 2\sqrt{t^2 - 2t + 10})；
  右边的 (g(m)) 用 (t) 表示就是 ( \sqrt{8 + \frac{30}{t}} - 1 )。
  现在不等式转化为关于单变量 (t) 的问题，变量范围更清晰，或许更容易分析单调性或者做进一步变形。
• 先验证极值点的大小关系：既然函数不单调，不妨先看看左边 (f(m)) 的最大值和右边 (g(m)) 的最小值：
  • (f(m)) 关于 (m=\frac{3}{2}) 对称，当 (m=\frac{3}{2}) 时，(f(\frac{3}{2}) = \sqrt{13} \approx 3.605)；
  • 此时右边 (g(\frac{3}{2}) = \frac{8}{\sqrt{3}} -1 \approx 3.656)，确实比左边大；
  • 当 (m) 趋近于0或3时，左边趋近于 (1+\sqrt{10}\approx4.162)，而右边根号内的式子趋近于正无穷，所以 (g(m)) 也趋近于正无穷，远大于左边。
    接下来可以尝试分析关于 (t) 的右边函数的最小值，只要证明这个最小值大于等于左边 (f(m)) 的最大值，就能证明原不等式成立。
• 优化平方的步骤：不要直接平方四次，先把原不等式变形为：
  $$\sqrt{m²+1} + \sqrt{(3-m)²+1} +1 \le \sqrt{\frac{2(4m²-12m-15)}{m(m-3)}}$$
  此时两边都是正数，直接平方一次，得到：
  $$(\sqrt{m²+1} + \sqrt{(3-m)²+1})² + 2(\sqrt{m²+1} + \sqrt{(3-m)²+1}) +1 \le \frac{2(4m²-12m-15)}{m(m-3)}$$
  代入之前化简好的 (f(m)^2) 和右边的简化式，整理后会比直接平方原不等式简单很多，能大幅减少计算量。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Math_fun2006