关于矩阵特征值与秩的两个命题的正确性判断问询

我想请教一下下面这两个矩阵相关的命题到底是对还是错：

• 命题1：设$A$是一个$4 \times 4$的实矩阵，满足$A^3=I$，那么$1$一定是$A$的特征值。
• 命题2：设$A$是一个$5 \times 8$的实矩阵，满足$\operatorname{Nullity}\left(A^{TA\right)=3$，那么$\operatorname{Rank}\left(A}T\right)=5$。

我的思考尝试 #

我自己琢磨了一下，有这样的想法：

• 对于命题1，我觉得是正确的。因为如果$\lambda$是$A$的特征值，那么必然满足$\lambda^{3=1$，对这个式子变形得到$\lambda}3 - 1 = 0$，因式分解后就是$(\lambda-1)(\lambda^2 + \lambda + 1)=0$，所以我觉得$\lambda=1$肯定是$A$的一个特征值。
• 对于命题2，我也认为是正确的。首先$A^TA$是一个$8 \times 8$的实矩阵，根据秩-零度定理，$\operatorname{Rank}\left(A^TA\right)=8 - \operatorname{Nullity}\left(A^{TA\right)=8-3=5$。另外我记得有个结论：$\operatorname{Rank}\left(A}TA\right) = \min\left{\operatorname{Rank}(A), \operatorname{Rank}\left(A^{T\right)\right}$，而$\operatorname{Rank}(A}T)$的最大值就是$5$（因为$A$是5行的矩阵），所以就能推出$\operatorname{Rank}\left(A^T\right)=5$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者jasmine