关于环ℤ[√-5]中√-5是素元的证明求助

我现在被一道代数题难住了，题目是：已知$R=ℤ[\sqrt{-5}]$是环但不是唯一分解整环（UFD），需要证明不可约元素$\sqrt{-5}$是素元。

我目前只想到了开头的一小步，思路如下：

证明：设$R=ℤ[\sqrt{-5}]$是环但不是UFD。由于$\sqrt{-5}$是不可约元素，那么若$\sqrt{-5}=bc$（其中$b,c\in R$），则$b$或$c$是$R$中的非零单位。

从这里往后我就不知道该怎么继续推导了，有没有大佬能给我指点一下后续的证明方向或者具体步骤呀？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mathemagician