寻求满足特征值条件的二阶矩阵相关行列式符号命题的纸笔分析证明

各位好，我最近在研究二阶实矩阵的一个性质，遇到了瓶颈，想请大家帮忙看看：

假设我们有两个二阶实矩阵：
$$A = \begin{bmatrix} x & 1\ y & 0\end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} z & 1\ w & 0\end{bmatrix}$$
这里的$x,y,z,w$都是实数。

我通过大量的实例测试后，发现了一个看起来成立的规律：

如果$A^2B$和$AB2$的所有特征值的绝对值都小于1，那么不可能同时出现$\det(AB+A+I)<0$和$\det(BA+B+I)<0$的情况。

目前我已经完成了特殊情形的证明：当$y=x$且$w=z$时，这个命题是成立的，对应的纸笔证明已经做出来了。现在就剩下一般情形——也就是$y \neq x$或者$w \neq z$的情况，还没找到纯分析的纸笔证明方法。

我知道现在已经有通过计算机代数工具完成的计算性证明，但我更想要一个能手动推导的、纯分析的证明，不知道有没有朋友能给点思路或者完整的证明过程？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者BAYMAX